Категорія називається повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.
Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.
Приклади Наступні категорії біповні: категорія множин ; категорія груп ; категорія кілець ; категорія абелевих груп ; категорія топологічних просторів ; категорія компактних хаусдорфових просторів ; категорія малих категорій ; Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними: категорія скінченних множин ; категорія скінченновимірних векторних просторів над полем ; категорія скінченних груп ; Взагалі, якщо — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії , то повна і коповна, так як вона рефлективна у . Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною. (теорема про границю з параметром) Якщо категорія повна (коповна), то категорія повна (коповна) для будь-якої категорії , при чому границі обраховуються поточково. Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань. Категорія метричних просторів скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.
Властивості Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому. Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною. (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком. Якщо категорія повна у малому, то для будь-якої малої категорії будь-який функтор має праве розширення Кана за будь-яким функтором , при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.
Література С. Маклейн Категории для работающего математика, — : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4. Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — : Мир, 1983. — 487 с.