Похідна Лі тензорного поля за напрямком векторного поля — головна лінійна частина приросту тензорного поля при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем .
Зазвичай позначається .
Означення
Аксіоматичне
Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.
Похідна Лі від скалярного поля є похідною за напрямком .
Похідна Лі від векторного поля є дужка Лі векторних полів.
Для довільних векторних полів 1-форми виконується рівність
(правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується
У явному виді, якщо T є тензорним полем типу і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як
Через потік Нехай — -вимірний гладкий многовид і — векторне поле на .
Розглянемо потік за , що визначається співвідношенням: Для кожної точки існує такий окіл і число що потік є визначений і взаємно однозначний для всіх і і також для кожного такого t відображення буде дифеоморфізмом із U. Також якщо то тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.
Нехай тепер T є тензорним полем типу і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями.
Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми і задані за умов вказаних вище. Якщо то є тензором типу на дотичному просторі многовиду у точці За допомогою дифеоморфізмів і цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу щодо дифеоморфізму (позначається ) називається тензор, що у точці p є рівним:
У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори, позначає диференціал відображення, а — зворотне відображення диференційних форм при відображенні тобто для довільної диференціальної форми у точці m і вектора Y у точці за означенням
Похідна Лі може бути означена як
Еквівалентність означень Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то і що доводить еквівалентність у цьому випадку.
Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.
Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізму для будь якого p-коваріантного тензора і векторних полів зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності
Звідси:
Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним у точці m.
Перший доданок можна записати як:
Остання рівність одержується із того, що Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля , диференціали і тензори неперервно залежать від t, то границі і при є рівними а границя є рівною
Окрім того
де остання рівність випливає із вказаної вище властивості для дужки Лі. Оскільки є одиничним перетворенням, а є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно
Разом одержується вираз для похідної Лі.
Зокрема для 1-форми звідси відразу випливає, що
Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність
Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю Із доведеного вище, а також властивостей одержується, що В іншому доведення аналогічне до попереднього.
Вираз у координатах У локальних координатах функція у координатному околі запишеться як і векторне поле через координатний базис:
де є диференціальним оператором для якого а всі є гладкими функціями у координатному околі.
Тоді у цих координатах
Якщо є іншим векторним полем, то у локальних координатах:
відповідно скалярна функція при для цього поля є рівною:
Довільна 1-форма у локальних координатах записується як:
де є двоїстим базисом до а всі є гладкими функціями у координатному околі.
Тоді застосувавши 1-форму до можна одержати значення скаляру біля :
Загальне тензорне поле T типу є сумою елементів виду
де всі і можуть набувати всіх значень від 1 до n, а всі є гладкими функціями у координатному околі.
Тоді для похідної Лі такі функції біля базисних елементів є рівними:
Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері , тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:
,
де , і введені наступні позначення:
,
— об’єкт неголономності.\
Властивості є -лінійним оператором за і за , де — довільне тензорне поле. Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів. На супералгебрі диференціальних форм похідна Лі є однорідним оператором ступеня 0 і диференціюванням, тобто
Нехай і — векторні поля на многовиді, тоді оператор є диференціюванням алгебри , і за означенням похідної Лі для функцій і дужки Лі векторних полів:
Тобто: для . На векторних полях за означенням і аналогічно Оскільки із антисиметричності дужок Лі і тотожності Якобі випливає, що
то рівність виконується і для цього випадку. Для 1-форми за означенням і тому
Віднявши від цього виразу такий самий для і використавши як і вище означення і властивості дужок Лі звідси одержується рівність:
Тому рівність є правильною і для 1-форм. Тоді із формули похідної Лі для загальних тензорних полів випливає правильність цієї формули для тензорних полів усіх типів.
Формула Картана (формула гомотопії). На множині диференціальних форм правильною є рівність операторів . Тут — оператор внутрішнього диференціювання форм (який за означенням для векторного поля і диференціальної k-форми є рівним), а — оператор зовнішнього диференціювання. Для будь-якого коваріантного тензорного поля оператори похідної Лі і внутрішнього диференціювання також пов'язані формулою: . Як наслідок, . Тут — гладкий перетин (природного) векторного розшарування (наприклад, будь-яке тензорне поле), — підняття векторного поля на , — оператор вертикального проектування на .
Див. також Поле Кілінга Дужка Лі векторних полів
Література