В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.
Визначення Нехай — алгебра над кільцем . Диференціюванням алгебри називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку:
Більш загально диференціюванням комутативної алгебри із значеннями в -модулі називається -лінійне відображення , що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку називають диференційним модулем над Множина всіх диференціювань із значеннями в позначається (, ) і є -модулем.
Приклади Класична похідна на алгебрі диференційовних функцій на відкритій підмножині дійсної прямої. Похідна за напрямком на алгебрі диференційовних функцій на відкритій підмножині евклідового простору, зокрема усі часткові похідні. Комплексна похідна на алгебрі голоморфних функцій на відкритій підмножині комплексної площини і часткові похідні від голоморфних функцій у багатовимірному випадку. Векторне поле на многовиді задає диференціювання на алгебрі гладких функцій на многовиді. Похідна Лі на алгебрі тензорних полів на многовиді щодо тензорного добутку і алгебрі диференціальних форм щодо зовнішнього добутку. Формальне диференціювання многочленів і формальних степеневих рядів над деяким кільцем. Приєднане представлення алгебри Лі є диференціюванням на відповідній алгебрі Лі.
Властивості На можна природно ввести структуру алгебр Лі: Якщо , тоді методом математичної індукції:
(остання рівність справедлива, якщо для всіх комутує з ). Зокрема якщо A є комутативною і , то . Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то оскільки . Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх , . Якщо є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення
Градуйоване диференціювання Нехай — -градуйована алгебра, градуювання елемента позначимо . Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані диференціювання, породжені однорідними відображеннями степеня , що задовільняють градуйованим тотожностям ():
Якщо , то градуйовані диференціювання рівні звичайним. Якщо , то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора
Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.
Література
.
Див. також Диференціальна алгебра