Історія тригонометрії як науки про співвідношення між кутами і сторонами трикутника та інших геометричних фігур охоплює понад два тисячоліття. Більшість таких співвідношень неможливо виразити за допомогою звичайних алгебричних операцій, тому знадобилось ввести особливі тригонометричні функції, які спершу оформлювали у вигляді таблиць.

Історики вважають, що тригонометрію створили стародавні астрономи, трохи пізніше її почали використовувати в геодезії й архітектурі. З часом сфера застосування тригонометрії постійно розширювалась, в теперішній час її використовують майже всі природничі науки, техніка і низка інших галузей діяльності. Тригонометричні функції виявились особливо корисними для вивчення коливних процесів; на них заснований також гармонічний аналіз функцій та інші інструменти аналізу. Томас Пейн у своїй книзі «Доба Розуму» (1794) назвав тригонометрію «душею науки».

Ранній період

Зародки тригонометрії можна знайти в математичних рукописах стародавнього Єгипту, Вавилона і стародавнього Китаю. 56-а задача з папірусу Рінда (II тисячоліття до н. е.) пропонує знайти нахил піраміди, висота якої дорівнює 250 ліктів, а довжина сторони основи — 360 ліктів.

Від вавилонської математики бере початок звичайне для нас вимірювання кутів градусами, мінутами і секундами (введення цих одиниць у давньогрецьку математику зазвичай приписують Гіпсиклу, II століття до н. е.) Серед теорем, відомих вавилонцям, була, приміром, така: вписаний кут, що спирається на діаметр кола — прямий. Головним досягненням цього періоду стало співвідношення, яке згодом отримало назву теореми Піфагора; Ван дер Варден вважає, що вавилонці відкрили його між 2000 і 1786 роками до н. е. Цілком можливо, що китайці відкрили його незалежно (див. «Математика в дев'яти книгах»). Незрозуміло, чи знали загальне формулювання теореми стародавні єгиптяни, однак прямокутний «єгипетський трикутник» зі сторонами 3, 4, і 5 був там добре відомий і широко використовувався.

Стародавня Греція Загальне і логічно зв'язне викладення тригонометричних співвідношень з'явилося в давньогрецькій геометрії. Грецькі математики ще не виділяли тригонометрію як окрему науку, для них вона буда частиною астрономії.

Плоска тригонометрія Декілька теорем тригонометричного характеру містять «Начала» Евкліда (IV століття до н. е.). В першій книзі «Начал» теореми 18 і 19 встановлюють, що більшій стороні трикутника відповідає більший протилежний кут — і навпаки, більшому куту відповідає більша сторона. Теореми 20 і 22 формулюють «нерівність трикутника»: з трьох відрізків можна скласти трикутник тоді і тільки тоді, коли довжина кожного менше суми довжин двох інших. Теорема 32 доводить, що сума кутів трикутника дорівнює 180°.

У другій книзі «Начал» теорема 12 являє собою словесний аналог теореми косинусів:

Наступна теорема 13 є варіантом теореми косинусів для гострокутних трикутників. Аналога теореми синусів у греків не було, це найважливіше відкриття було зроблене значно пізніше.

Подальший розвиток тригонометрії пов'язаний з ім'ям астронома Аристарха Самоського (III століття до н. е.). В його трактаті «Про величини і відстані Сонця і Місяця» була поставлена задача про визначення відстаней до небесних тіл; ця задача потребувала обчислення співвідношення сторін прямокутного трикутника при відомому значенні одного з кутів. Аристарх розглядав прямокутний трикутник, утворений Сонцем, Місяцем і Землею під час квадратури. Йому було потрібно обчислити величину гіпотенузи (відстань від Землі до Сонця) через катет (відстань від Землі до Місяця) при відомому значенні прилеглого кута (87°), що є еквівалентом обчислення значення . За оцінкою Аристарха, ця величина лежить у проміжку від 1/20 до 1/18, тобто відстань до сонця у 20 разів більше, ніж до Місяця; насправді Сонце знаходиться майже у 400 разі далі, ніж Місяць, помилка виникла через неточність у вимірюванні кута. Водночас Аристарх довів нерівність, яка у сучасних термінах передається формулою:

Ця ж нерівність міститься в «Обчисленні піщинок» Архімеда. В працях Архімеда (III століття до н. е.) наводиться важлива теорема ділення хорд, яка по суті еквівалентна формулі синуса половинного кута:

Греки також вирішили проблему побудови трикутника за його трьома заданими елементами (з яких хоча б один є стороною).

Протягом всього періоду розвитку античної науки головною нивою для застосування результатів плоскої тригонометрії у греків залишалась астрономія. Окрім задачі з обчислення відстаней, тригонометрію залучали для визначення параметрів системи епіциклів і/чи ексцентрів, якими представляли рух світила у просторі. За широко поширеною думкою, ця проблема вперше була сформульована Гіппархом (середина II століття до н. е.) при визначенні елементів орбіт Сонця і Місяця; можливо, аналогічними задачами займалися й астрономи більш раннього часу. Гіппарху також часто приписують авторство перших тригонометричних таблиць, які не збереглися. Втім, згідно з деякими реконструкціями, перші тригонометричні таблиці були складені ще у III столітті до н. е., можливо, Апполонієм Перзьким.

Замість сучасної функції синуса Гіппарх та інші давньогрецькі математики звичайно розглядали залежність довжини хорди кола від заданого центрального кута (чи, що еквівалентно, від заданої дуги кола, вираженої у кутовій мірі). У сучасній термінології, довжина хорди, що стягує дугу θ одиничного кола дорівнює подвоєному синусу центрального кута θ/2. Ця відповідність справедлива для будь-яких кутів: 0° < θ < 360°. Мовою хорд були сформульовані перші відкриті греками тригонометричні співвідношення. Наприклад, сучасній формулі:

у греків відповідала теорема:

де  — хорда для центрального кута ,  — діаметр кола.

При цьому радіус кола не вважався рівним одиниці, як тепер. Припускають, наприклад, що у Гіппарха радіус кола вважався рівним R=3438 одиниць — за такого визначення довжина дуги кола була рівною кутовій мірі цієї дуги, вираженої в мінутах: , і це полегшувало обчислення. У Птолемея R=60 одиниць. Згідно з сучасними реконструкціями , величини хорд у Гіппарха були протабульовані з інтервалом 7°30'. Можливо, в основі обчислення таблиці Гіппарха лежав метод, що був розроблений Архімедом і брав початок ще у Аристарха.

Пізніше астроном II століття Клавдій Птолемей в «Альмагесті» доповнив результати Гіппарха. Тринадцять книг «Альмагеста» — найзначніша тригонометрична робота всієї античності. Зокрема, «Амальгест» містить великі п'ятизначні таблиці хорд для гострих і тупих кутів з кроком 30 кутових мінут. Для обчислення хорд Птолемей використовував (у главі X) теорему Птолемея (втім, відому ще Архімеду), яка стверджує: сума добутків довжин протилежних сторін випуклого вписаного в коло чотирикутника дорівнює добутку довжин його діагоналей. З цієї теореми нескладно вивести дві формули для синуса і косинуса суми кутів і ще дві для синуса і косинуса різниці кутів, проте загальне формулювання цих теорем у греків відсутнє.

Основним досягненням античної тригонометричної теорії став розв'язок у загальному вигляді задачі «розв'язування трикутників», тобто заходження невідомих елементів трикутника, коли відомі його три елементи (з яких хоча б одним є стороною). Пізніше ця задача і її узагальнення стали основною задачею тригонометрії: задані декілька (звичайно три) відомих елементи трикутника, вимагається знайти решту пов'язаних з ними величин. Спершу до числа елементів трикутника (відомих і невідомих) включали сторони і кути при їх вершинах, пізніше до них додались медіани, висоти, бісектриси, радіус вписаного і описаного кола, розташування центру ваги тощо. Прикладні тригонометричні задачі відрізняються великою різноманітністю — наприклад, можуть бути задані невидимі на практиці результаті дій над перерахованими величинами (приміром, сума кутів чи відношення довжин сторін).

Сферична тригонометрія Паралельно з розвитком тригонометрії площини греки, під впливом астрономії, значно розвинули сферичну тригонометрію. В «Началах» Евкліда з цієї теми є тільки одна теорема про співвідношення об'ємів шарів різного діаметра, але потреби астрономії і картографії зумовили швидкий розвиток сферичної тригонометрії і суміжних з нею областей — системи небесних координат, теорії картографічних проєкцій, технології астрономічних приладів (зокрема, винайдено астролябію).

Історики дійшли згоди щодо ступеню розвитку у античних греків геометрії небесної сфери. Деякі дослідники наводять аргументи, що екліптичну чи екваторіальну систему координат використовували для запису результатів астрономічних спостережень принаймні вже у час Гіппарха. Можливо тоді були відомі і деякі теореми сферичної тригонометрії, які могли використовуватись для складення зоряних каталогів і в геодезії.

Перші відомі в наш час праці зі «Сферики» (тобто сферичної геометрії, з очевидним астрономічним нахилом) написали:

(IV століття до н. е.) Автолік з Пітани і Евклід («Феномени»). (II століття до н. е.) Феодосій і Гіпсикл.

Деякі задачі розглянуті в цих творах мають тригонометричний характер, проте через слабку розробленість теорії автори ще користуються обхідними шляхами. Наприклад, задачу «знайти час повного сходу (заходу) зодіакального сузір'я» Гіпсикл вирішує наближено за допомогою многокутних чисел.

Вирішальним етапом в розвитку теорії стала монографія «Сферика» в трьох книгах, яку написав Менелай Александрійський (близько 100 року н. е.). В першій книзі він виклав теореми про сферичні трикутники, аналогічні теоремам Евкліда про плоскі трикутники (див. I книгу «Начал»). Історики вважають, що підхід Менелая багато в чому спирається на праці Феодосія, які у Менелая суттєво розширені і зведені в систему. Як повідомляє Паппа, Менелай першим ввів поняття сферичного трикутника як фігури, утвореної відрізками великих кіл. Менелай довів теорему, для якої у Евкліда немає плоского аналога: два сферичних трикутники конгруентні (сумісні), якщо відповідні кути рівні. Інша його теорема стверджує, що сума кутів сферичного трикутника завжди більше 180°.

Друга книга «Сферики» викладає застосовування сферичної тригонометрії до астрономії. Третя книга місить важливу для практичної астрономії теорему Менелая, відому як «правило шести величин». Дві інші відкриті Менелаєм фундаментальні теореми пізніше отримали назви «правило чотирьох величин» і «правило тангенсів».

Кілька десятиліть потому Клавдій Птолемей у своїх працях «Географія», «Аналемма» і «Планісферій» приводить докладне викладення застосування тригонометрії до картографії, астрономії і механіки. Серед іншого, описана стереографічна проєкція, досліджені кілька практичних задач, наприклад: визначити висоту і азимут небесного світила за його схиленням і часовим кутом. З точки зору тригонометрії, це означає, що потрібно знайти сторону сферичного трикутника за двома іншими сторонами і протилежним кутом.

Сферичній геометрії Птолемей також присвятив XIII главу в першій книзі «Амельгеста»; на відміну від Менелая, Птолемей не привів доведень багатьох тверджень, але натомість приділив багато уваги алгоритмам, придатним для практичних обчислень в астрономії. Опорною конструкцією в «Амальгесті» слугує, замість плоских хорд, «чотиристоронник Менелая». Для вирішення прямокутного сферичного трикутника, тобто для обчислення його характеристик, Птолемей навів у словесній формі 4 теореми; в сучасних позначеннях вони мають вигляд (кут прямий): (окремий випадок сферичної теореми синусів)

(окремий випадок сферичної теореми синусів)

Пояснимо, що в сферичній геометрії прийнято вимірювати сторони трикутника не лінійними одиницями, а величиною центральних кутів, що на них спираються. В сучасній сферичній геометрії наводяться ще два співвідношення: (також виходить з сферичної теореми косинусів)

У Птолемея вони відсутні, оскільки їх неможливо вивести з теореми Менелая.

Середньовіччя

Індія