Диференціа́л (від  — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення

Зазвичай диференціал позначається . Деякі автори позначають шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці позначається , а інколи або . ( є лінійна функція на дотичному просторі у точці .)

Якщо є дотичним вектором у точці , то значення диференціала на зазвичай позначають , у цьому позначення зайве, але позначення , і також правомірні.

Використовується так само позначення ; останнє зв'язане з тим, що диференціал є єдиним підняттям на кодотичні розшарування до многовидів і .

Означення

Для дійснозначних функцій Нехай  — гладкий многовид і

гладка функція. Диференціал являє собою 1-форму на , що зазвичай позначається і визначається наступним співвідношенням

де позначає похідну за напрямком дотичного вектора у точці .

Для відображень гладких многовидів Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, , таким що для будь-якої гладкої функції маємо

де позначає похідну за напрямком . (У лівій частині рівності береться похідна у функції за ; у правій — в функції за ).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення Точка многовиду називається критичною точкою відображення , якщо диференціал не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда) У цьому випадку називається критичним значенням . Точка називається регулярною, якщо вона не є критичною. Гладке відображення називається субмерсією, якщо для будь-якої точки , диференціал є сюр'єктивним. Гладке відображення називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки , диференціал є ін'єктивним.

Властивості Диференціал композиції рівний композиції диференціалів: или

Приклади Нехай у відкритій множині задана гладка функція . Тоді , де позначає похідну , а є сталою формою, що визначається . Нехай у відкритій множині задана гладка функція . Тоді . Форма може бути визначена співвідношенням , для вектора . Нехай у відкритій множині задано гладке відображення . Тоді

де є матрицею Якобі відображення у точці .

Див. також Кодиференціал (диференціальна геометрія)

Джерела