У математиці ліндельофів простір (простір Ліндельофа) Steen & Seebach, p. 19Willard, Def. 16.5, p. 110 — топологічний простір, в якому кожне відкрите покриття має злічене підпокриття. Властивість Ліндельофа є послабленням частіше використовуваного поняття компактності, яке вимагає існування скінченного підпокриття.
Успадкований простір ЛіндельофаWillard, 16E, p. 114 — топологічний простір, який є підпростором Ліндельофа. Такий простір іноді називають сильно ліндельофовим, але збиває з толку те, що такий термін іноді використовується в зовсім іншому значенні. Термін успадкований простір Ліндельофа є більш поширеним і однозначним.
Простори Ліндельофа названі на честь фінського математика Ернста Леонарда Ліндельофа.
Властивості просторів Ліндельофа
Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.
Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.
Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, Willard, theorem 16.9, p. 111 є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.
Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.Willard, theorem 16.11, p. 112
Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.Willard, theorem 16.8, p. 111
Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.
Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.
Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.Willard, theorem 16.6, p. 110 Отже, будь-яка Fσ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.
Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.
Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.
Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.
Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором. Це є наслідком попередньої властивості.
Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором. Наприклад, лінія Зоргенфрея є ліндельофовим простором, але не є ліндельофовим простором.
У просторі Ліндельофа будь-яке сімейство непорожніх підмножин є зліченним.
Властивості успадкованого простору Ліндельофа
Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.Engelking, 3.8.A(b), p. 194
Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підпросторів і неперервних образів.
Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.Engelking, 3.8.A(c), p. 194
Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.
Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.
Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.
Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.
Приклад: Площина Зоргенфрея не є простором Ліндельофа
Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа. Типовим прикладом цього є , яка є добутком дійсної прямої з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою. Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути. Антидіагональ площини — множина точок таких, що .
Розглянемо відкрите покриття площини , яке складається з:
Множини всіх прямокутників , де знаходяться на антидіагоналі. Множинн всіх прямокутників , де знаходяться на антидіагоналі.
Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.
Інший спосіб переконатися, що не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору . Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).
Узагальнення
Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності: Топологічний простір є -компактним (або -ліндельофовим), де є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж . Компактний простір є тоді -компактним і простір Ліндельофа є тоді -компактним.
Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа , є найменшим кардинальним числом таким, що кожна відкрите покриття простору має підпокриття розмірності не більше . У цьому позначенні, простір є простором Ліндельофа, якщо . Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа. Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число таке, що кожне відкрите покриття простору має підпокриття розмірності строго меншої ніж .Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, p. 4, retrievable on Google Books У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом таким, що топологічний простір є -компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору ..
Див. також
Аксіоми зліченності
Посилання
Література Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004)