Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.
Формулювання Нехай — одиничний круг на комплексній площині . Нехай функція голоморфна в і задовольняє умови: ; .
Тоді: ; . Окрім того, якщо , для деякого ненульового або тоді для деякого комплексного числа для якого .
Доведення Розглянемо функцію . Ця функція є голоморфною на множині .
Маємо також .
Визначивши , отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг для довільного . На границі цього круга, . З принципу максимуму модуля випливає, що також для всіх . Якщо тепер направити то в результаті одержуємо для всіх . Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності для (для так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення тому .
Якщо тепер для деякого ненульового виконується то Якщо тоді Оскільки для всіх то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу то маємо звідки
Див. також Принцип максимуму модуля Теорема Бореля — Каратеодорі
Джерела