Одиничне коло — коло з радіусом 1 та центром у початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-вимірного простору (). У такому випадку використовують термін «одинична сфера».
Для координат усіх точок на колі, за теоремою Піфагора, виконується рівність .
Не слід плутати терміни «коло» і «круг». Внутрішність одиничного кола називають відкритим одиничним кругом, а внутрішність одиничного кола разом із самим колом — замкненим одиничним кругом.
Одиничне коло лежить в основі роботи координатного транспортира.
Тригонометричні функції
Синус та косинус можна описати так. З'єднавши будь-яку точку на одиничному колі з початком координат , отримаємо відрізок, що розміщений під кутом відносно додатного напрямку осі абсцис. Тоді:
косинусом кута називають відношення абсциси точки кола до його радіуса:
синусом кута називають відношення ординати точки кола до його радіуса:
тангенсом кута називають відношення ординати точки кола до її абсциси:
котангенсом кута називають відношення абсциси точки кола до її ординати: ,
де це радіус одиничного кола.
Підставивши ці значення в наведене вище рівняння , маємо:
.
Також тут унаочнюється періодичність тригонометричних функцій, оскільки кут нахилу відрізка не залежить від кількості «повних обертів»:
, , ,
для всіх цілих чисел , тобто для
Нехай точка — правий кінець горизонтального діаметра. Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку кола одиничного кола за такими правилами:
Якщо , то, рухаючись по колу із точки в напрямі проти годинникової стрілки (додатній напрям обходу кола), описати по колу слід довжину , кінцева точка цього шляху буде шуканою точкою . Якщо , то, рухаючись по колу із точки в напрямі за годинниковою стрілкою, описати по колу слід довжину , кінцева точка цього шляху буде шуканою точкою . Якщо , то у відповідність ставиться точка . Якщо , де — ціле число, то при повороті на кут одержимо одну й ту ж точку, що й при повороті на кут . Якщо точка відповідає числу , то вона відповідає і всім числам , де — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а — ціле число, яке показує кількість повних обертів по колу в той чи інший бік.
Комплексна площина В комплексній площині одиничне коло — це множина :
Множина є підгрупою групи комплексних чисел за множенням, її нейтральним елементом є .
Див. також Одиничний квадрат Одиничний круг Одиничний куб
Примітки