Дотичне розшарування гладкого многовиду — це векторне розшарування над , шар якого в точці є дотичним простором в точці . Дотичне розшарування зазвичай позначається .
Елемент тотального простору — це пара , де і . Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність дорівнює подвоєній розмірності .
Топологія і гладка структура Якщо — -мірний многовид, то він має атласом карт , де — відкрита підмножина і
— гомеоморфізм.
Ці локальні координати на породжують ізоморфізм між і для будь-якого . Можна визначити відображення
як
Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на .
Підмножина з відкрита тоді і тільки тоді, коли — відкрите в для будь-якого . Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин і , тому вони утворюють карти гладкої структури на . Функції переходу на перетинах карт задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин .
Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування -мірного многовиду можна визначити як векторне розшарування рангу над , функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.
Приклади Найпростіший приклад отримуємо для . У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проєкції . Одинична окружність . Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно . Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі). Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері , це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака. На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої і одиничної окружності , які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.
Векторні поля Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді , значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до , тобто гладке відображення
таке, що образ , що позначається , лежить у — дотичному просторі в точці . Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на — це перетин дотичного розшарування над .
Множина всіх векторних полів над позначається . Векторні поля можна складати поточечно:
і множити на гладкі функції на , отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на (позначається ).
Якщо є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля дає нову гладку функцію . Цей оператор диференціювання має такі властивості: Адитивність: Правило Лейбніца: Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.
Локальне векторне поле на — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині з , при цьому в кожній точці з задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над .
Канонічне векторне поле на TM На кожному дотичному розшаруванні можна визначити канонічне векторне поле. Якщо — локальні координати на , то векторне поле має вигляд
є відображенням .
Існування такого векторного поля на можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.
Посилання