Степінь многочлена у математиці — це найбільший зі степенів його одночленів (окремих доданків) із ненульовими коефіцієнтами. Степінь одночлена — це сума показників степенів змінних, що входять до нього; отже, він є невід'ємним цілим числом. Для многочлена від однієї змінної степенем многочлена є просто найбільший показник степеня, що входить до нього. Термін порядок раніше використовувався як синонім степеня але сьогодні він може стосуватися кількох інших понять (див. ).

Наприклад, многочлен який також можна записати як має три доданки. Перший доданок має степінь 5 (сума показників 2 і 3), другий доданок має степінь 1, а останній — степінь 0. Отже, цей багаточлен має степінь 5, що є найбільшим степенем серед усіх його доданків.

Щоб визначити степінь многочлена, який записаний не у стандартному вигляді, як-от , його можна привести до стандартного вигляду, розкривши дужки (за допомогою дистрибутивності) та звівши подібні доданки. Наприклад, є багаточленом 1-го степеня, хоча кожен окремий доданок має степінь 2. Проте це не обов'язково робити, якщо багаточлен записаний як добуток багаточленів у стандартному вигляді, оскільки степінь добутку дорівнює сумі степенів його множників.

Назви многочленів за степенем

Залежно від степеня, многочленам присвоюють такі назвиМаклейн і Біркгофф (1999) визначають терміни «лінійний», «квадратичний», «кубічний», «четвертого степеня» (quartic) та «п'ятого степеня» (quintic). (с. 107)Кінг (2009) визначає «квадратичний», «кубічний», «четвертого степеня», «п'ятого степеня», «шостого степеня», «сьомого степеня» та «восьмого степеня». запропонував назви «сексік» (sexic), «септик» (septic), «октик» (octic), «нонік» (nonic) та «децик» (decic) у 1851 році. (Mechanics Magazine, Vol. LV, c. 171): Спеціальний випадок — нульовий (див. розділ нижче) Степінь 0 — ненульова константа (стала)Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, : «Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value .» (p. 23) Степінь 1 — Степінь 2 — квадратичний Степінь 3 — кубічний Степінь 4 — (або, якщо всі члени мають парний степінь, ) Степінь 5 — п'ятого степеня (квінтика) Степінь 6 — шостого степеня (або, рідше, гексика) Степінь 7 — сьомого степеня (або, рідше, гептика) Степінь 8 — восьмого степеня Степінь 9 — дев'ятого степеня Степінь 10 — десятого степеня

Назви для степенів вище третього базуються на латинських , і закінчуються на -ic (у мовах латинського походження). Їх слід відрізняти від назв, що використовуються для позначення кількості змінних — арності, які базуються на латинських , і закінчуються на -арний. Наприклад, многочлен другого степеня від двох змінних, як-от , називається «бінарним квадратичним»: бінарний через дві змінні, квадратичний через другий степінь. Також існують назви за кількістю доданків, які також базуються на латинських розподільних числівниках і закінчуються на -член; найпоширенішими є одночлен, двочлен і (рідше) ; таким чином  — це «бінарний квадратичний двочлен».

Приклади Многочлен є кубічним: після перемноження та зведення доданків однакового степеня він набуває вигляду , де найбільшим показником степеня є 3.

Многочлен є многочленом п'ятого степеня: після зведення подібних доданків два члени зі степенем 8 взаємно знищуються, залишаючи , де найбільшим показником степеня є 5.

Поведінка при операціях над многочленами Степінь суми, добутку або композиції двох многочленів тісно пов'язаний зі степенями вихідних многочленів.

Додавання Степінь суми (або різниці) двох многочленів менший або дорівнює більшому зі степенів цих многочленів; тобто: та . Наприклад, степінь різниці дорівнює 2, і при цьому 2 ≤ max{3, 3}.

Рівність завжди виконується, якщо степені багаточленів різні. Наприклад, степінь суми is 3, and 3 = max{3, 2}.

Множення

Степінь добутку многочлена на ненульовий скаляр дорівнює степеню цього многочлена, тобто

.

Наприклад, степінь дорівнює 2, що збігається зі степенем многочлена .

Отже, множина множина многочленів (із коефіцієнтами з заданого поля F), степені яких не перевищують заданого числа n, утворює векторний простір; докладніше див. .

Більш загально, степінь добутку двох многочленів над полем або областю цілісності дорівнює сумі їхніх степенів: .

Наприклад, степінь дорівнює 5 = 3 + 2.

Для многочленів над довільним кільцем наведені вище правила можуть не виконуватися через скорочення, яке може виникати під час множення двох ненульових констант. Наприклад, у кільці цілих чисел за модулем 4 маємо , але, що не дорівнює сумі степенів множників.

Композиція Степінь композиції двох неконстантних многочленів і над полем або цілою областю дорівнює добутку їхніх степенів:

Наприклад, якщо має степінь 3, а має степінь 2, то їхня композиція має степінь 6.

Зауважимо, що для многочленів над довільним кільцем степінь композиції може бути меншим за добуток степенів. Наприклад, у кільці композиція многочленів and (обидва степеня 1) є сталим многочленом степеня 0.

Степінь нульового многочлена

Степінь нульового многочлена або залишають невизначеним, або визначають як від'ємне число (зазвичай −1 або )Шафаревич (2003) про нульовий многочлен зазначає: «У цьому випадку ми вважаємо, що степінь многочлена є невизначеною» (с. 27) Чайлдс (1995) використовує значення −1. (с. 233) Чайлдс (2009) використовує −∞ (с. 287), однак у своєму Твердженні 1 (с. 288) він виключає нульові многочлени, а далі пояснює, що це твердження справджується і для нульових многочленів «за розумного припущення, що + m = для будь-якого цілого m або для m = ». Акслер (1997) використовує −∞. (с. 64) Грілле (2007) пише: «Степінь нульового многочлена 0 інколи залишають невизначеною або по-різному визначають як −1 ∈ чи як , за умови, що deg 0 < deg A для всіх A ≠ 0». (Тут A — многочлен). Водночас у своєму Твердженні 5.3. (с. 121) він виключає нульові многочлени..

Як і будь-яке стале значення, число 0 можна розглядати як (сталий) многочлен, який називають нульовим многочленом. Він не має жодних ненульових членів, а отже, строго кажучи, не має й степеня. Тому його степінь зазвичай вважають невизначеним. Твердження про степінь сум і добутків многочленів, наведені в попередньому розділі, не застосовуються, якщо хоча б один із многочленів є нульовим многочленом; див. розділ «Degree of a polynomial», с. 225—226: «Добуток нульового многочлена [на] будь-який інший многочлен завжди є нульовим многочленом, тому така властивість степенів (що степінь добутку дорівнює сумі степенів двох множників) не виконувалася б, якби один із двох многочленів був многочленом 0. Саме тому ми не приписуємо степінь нульовому многочлену».

Однак зручно визначати степінь нульового многочлена як від'ємну нескінченність, і запровадити такі арифметичні правилаАкслер (1997) наводить ці правила і зазначає: «Нульовий многочлен оголошується таким, що має степінь аби не було потреби робити винятки для різних цілком природних результатів». (с. 64):

та

Ці приклади ілюструють, як таке розширення задовольняє наведені вище правила поведінки: Степінь суми дорівнює 3. Це відповідає очікуваній властивості: . Степінь різниці дорівнює . Це відповідає очікуваній властивості: . Степінь добутку дорівнює . Це відповідає очікуваній властивості: .

Обчислення за значеннями функції Існує низка формул, які дають змогу обчислити степінь поліноміальної функції f. Одна з них, заснована на асимптотичному аналізі має вигляд ; вона є точним аналогом методу оцінювання нахилу на .

Ця формула узагальнює поняття степеня на деякі функції, які не є многочленами. Наприклад: степінь мультиплікативного оберненого дорівнює −1; степінь квадратного кореня , дорівнює 1/2; степінь логарифма дорівнює 0; степінь показникової функції дорівнює Формула також дає осмислені результати для багатьох комбінацій таких функцій; наприклад, степінь дорівнює .

Інша формула для обчислення степеня f за її значеннями має вигляд ; ця друга формула випливає із застосування правило Лопіталя до першої формули. Інтуїтивно ж вона радше виявляє степінь d як додатковий сталий множник у похідній від .

Більш тонкий (ніж просто числовий степінь) опис асимптотичної поведінки функції можна отримати, використовуючи нотацію Ландау. Зокрема, в аналізі алгоритмів часто важливо розрізняти швидкості зростання та , які за наведеними вище формулами мали б однаковий степінь.

Поширення на многочлени з двома або більше змінними Для многочленів із двома або більше змінними степінь окремого члена дорівнює сумі показників степенів змінних у цьому члені; степінь (іноді званий загальним степенем) многочлена знову ж таки є найбільшим зі степенів усіх його членів. Наприклад, многочлен x2y2 + 3x3 + 4y має степінь 4 — такий самий, як і член x2y2.

Однак многочлен від змінних x і y можна розглядати як многочлен за x з коефіцієнтами, що є многочленами за y, а також як многочлен за y з коефіцієнтами, що є многочленами за x. Многочлен

має степінь 3 за змінною x і степінь 2 за змінною y.

Функція степеня в абстрактній алгебрі Нехай R — кільце. Тоді кільце многочленів R[x] — це множина всіх многочленів від змінної x з коефіцієнтами з R. В окремому випадку, коли R є полем, кільце многочленів R[x] є областю головних ідеалів і, що важливіше для нашого обговорення, евклідовою областю.

Можна показати, що степінь многочлена над полем задовольняє всі вимоги до норми в евклідовій області. Тобто для двох многочленів f(x) і g(x) степінь добутку f(x)g(x) має бути більшим, ніж степені f і g кожного окремо. Насправді виконується сильніше твердження:

Щоб побачити, чому функція степеня може не працювати в кільці, яке не є полем, розглянемо такий приклад. Нехай R =  — кільце цілих чисел за модулем 4. Це кільце не є полем (і навіть не є областю цілісності), оскільки 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Тоді покладемо f(x) = g(x) = 2x + 1. Маємо f(x)g(x) = 4x2 + 4x + 1 = 1. Отже, deg(f⋅g) = 0, що не є більшим за степені f і g (кожен з яких мав степінь 1).

Оскільки функція норми не визначена для нульового елемента кільця, ми також вважаємо степінь многочлена f(x) = 0 невизначеною, щоб вона відповідала правилам норми в евклідовій області.

Див. також

Теорема Абеля — Руффіні Основна теорема алгебри

Коментарі

Примітки

Джерела