У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення. Наприклад, функція є сталою функцією, тому що значення дорівнює 4 незалежно від вхідного значення (див. зображення).
Основні властивості Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму або просто .
Приклад: Функція або просто є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є . Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».
Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.
Графік сталої функції — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку .
Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма . Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.
Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.
У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0. Часто це пишеться: . Зворотне також вірно. А саме, якщо y(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.
Приклад:''' Дано сталу функцію . Похідна від y — тотожно нульова функція .
Інші властивості Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.
Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною. Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною. Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин , елементарної теорії категорії множин (ETCS). Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція така, що для всіх . І навпаки, якщо функція задовольняє для всіх , за визначенням є сталою функцією. Як наслідок, одноточкова множина є в категорії множин. Кожна множина канонічно ізоморфна множині функцій , або множині Hom у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, ) категорія множин є з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції і впорядкованих пар і відповідно до елемента , де є унікальною точкою в одноточковій множині.
Функція на зв'язаній множині є тоді і тільки тоді, коли вона стала.
Примітки
Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory'', Heldermann Verlag (2007).
Посилання