Ця стаття про многочлени Тейлора диференційовних функцій. Про ряди Тейлора аналітичних функцій див. відповідну статтю.
Теорема Тейлора дає наближення до функції, що диференціюється k раз, поблизу даної точки за допомогою многочлена Тейлора k-го порядку. Для аналітичних функцій многочлен Тейлора в даній точці є кінцевою послідовністю їх неповного ряду Тейлора, який, у свою чергу, повністю визначає функцію в деякому околі точки. Точний зміст теореми Тейлора до теперішнього часу не узгоджено. Звичайно, існує кілька версій теореми, що застосовуються в різних ситуаціях, і деякі з цих версій містять оцінки помилки, що виникає при наближенні функції за допомогою многочлена Тейлора.
Ця теорема названа на честь математика Брука Тейлора, який сформулював одну з її версій в 1712 році. Явний вираз для помилки наближення було дано набагато пізніше Жозефом Лагранжем. Раніше, в 1671 році, Джеймсом Грегорі вже було згадано наслідок з теореми.
Теорема Тейлора дозволяє опанувати прийомами обчислень початкового рівня, і вона є одним з центральних елементарних інструментів у математичному аналізі. При вивченні математики вона є початковою точкою для вивчення асимптотичного аналізу. Теорема також використовується в математичній фізиці. Вона також узагальнює аналіз функцій декількох змінних і векторні функції для будь-яких вимірів n і m. Це узагальнення теореми Тейлора є базовим для визначення так званих струменів, які з'являються в диференціальній геометрії й в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Передумови для введення теореми
Якщо дійснозначна функція f(х) є диференційованою в точці a, то вона має лінійне наближення в точці a. Це означає, що існує функція h1 така, що
Тут
це лінійне наближення функції f в точці a. Графік функції є дотичною до графіку функції f в точці . Помилка наближення є такою
Помітимо, що помилка наближається до нуля трохи скоріше, ніж різниця наближається до нуля відповідно до того як x прагне до a.
Якщо ми шукаємо краще наближення f, ми можемо використовувати многочлен другого ступеня замість лінійної функції. Замість знаходження похідної від f в точці a, ми можемо знайти дві похідні, отримавши таким чином многочлен, який так само як і f зростає (або убуває), і так само як і f має опуклість (або увігнутість) в точці a. Многочлен другого ступеня (квадратний многочлен) в цьому випадку буде виглядати наступним чином:
Теорема Тейлора дозволяє переконатися, що квадратичне наближення, в досить малому околі точки a, є кращим наближенням, ніж лінійне. Зокрема,
Тут помилка наближення така
що, за умови обмеженості h2, наближається до нуля швидше, ніж наближається до нуля відповідно до того як x прагне до a.
Таким чином, якщо використовувати многочлени все вищого ступеня, то будуть отримані все кращі наближення до f. Загалом, помилка в наближенні функції за допомогою поліномів порядку k буде наближатися до нуля трохи швидше, ніж наближається до нуля відповідно до того як x прагне до a.
Цей наслідок має асимптотичну природу: він лише повідомляє, що помилка Rk наближення за допомогою многочленів Тейлора k-го порядку Pk наближається до нуля швидше, ніж ненульовий многочлен k-го порядку відповідно до того як x → a. Він не повідомляє, наскільки великою є помилка в будь-якому околі центру наближення, але для цього існує формула для залишку (наведена нижче).
Найбільш повні версії теореми Тейлора, як правило, призводять до рівномірних оцінок помилки наближення в малому околі центра наближення, але ці оцінки не є адекватними для околів, які занадто великі, навіть якщо функція f є аналітичною. У цій ситуації слід вибирати кілька многочленів Тейлора з різними центрами наближення, щоб мати надійне Тейлорове наближення до вихідної функції (див. анімований малюнок вище). Можлива також ситуація, коли зростання порядку многочлена не збільшує якість наближення взагалі, навіть якщо функція f диференціюється нескінченну кількість разів. Такий приклад наведено нижче.
Теорема Тейлора для функцій від однієї дійсної змінної
Формулювання теореми Точне формулювання більшості базових версій теореми наступне.
Многочлен, що виникає в теоремі Тейлора, є многочленом Тейлора k-го порядку
функції f в точці a.
Теорема Тейлора описує асимптотичну поведінку залишкового члену
який є помилкою при знаходженні наближення функції f за допомогою многочленів Тейлора. Використовуючи «O» велике та «o» маленьке, теорему Тейлора можна сформулювати так
Формули для залишку
Існує декілька точних формул для залишкового члена Rk многочлена Тейлора, найбільш загальна з яких наступна.
Ці уточнення теореми Тейлора зазвичай виводяться за допомогою формули про скінченні прирости.
Можна також знайти й інші вирази для залишку. Наприклад, якщо G(t) є неперервною на закритому інтервалі та диференційовною з похідною, що не прагне до нуля на відкритому інтервалі між a і x, то
для деякого числа ξ між a і x. Ця версія охоплює форми Лагранжа та Коші як окремі випадки, і виводиться за допомогою теореми Коші про среднє значення (розширеної версії теореми Лагранжа про среднє значення).
Запис формули для залишку в інтегральної формі є більш загальним, ніж попередні формули, і вимагає розуміння інтегральної теорії Лебега. Однак вона зберігається також для інтегралу Рімана за умови, що похідна порядку (k+1) від f є неперервною на закритому інтервалі [a,x].
Внаслідок абсолютної неперервності f(k) на закритому інтервалі між a і x, її похідна f(k+1) існує як L1-функція, і цей наслідок може бути отриманий за допомогою формальних обчислень з використанням теореми Ньютона — Лейбніца та інтегрування частинами.
Оцінки залишку На практиці часто буває корисно чисельно оцінити величину залишкового члена наближення Тейлора.
Будемо вважати, що f — (k+1)-раз неперервно диференційовна на інтервалі I, що містить a. Будемо вважати, що існує дійсні постійні числа q і Q такі, що
на всьому протязі I. Тоді залишковий член задовольняє нерівності
якщо , і подібна оцінка, якщо . Це простий наслідок з формули залишку в формі Лагранжа. Зокрема, якщо
на інтервалі з деяким r>0, то
для всіх Друга нерівність називається рівномірною оцінкою, тому що вона зберігає рівномірність для всіх x на інтервалі
Приклад
Припустимо, ми хочемо знайти наближення функції на інтервалі й переконатися, що помилка не перевищує значення 10−5. У цьому прикладі вважаємо, що нам відомі такі властивості експоненційної функції:
З цих властивостей випливає, що для всіх k, і зокрема, . Звідси випливає, що многочлен Тейлора k-го порядку функції f в точці 0 та його залишковий член у формі Лагранжа записується за допомогою формули
де ξ — це деяке число між 0 і x. Оскільки ex зростає згідно (*), ми можемо використовувати ex ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], щоб оцінити залишок на підінтервалі [−1, 0]. Для знаходження верхньої межі значення залишку на інтервалі [0,1], можемо використовувати властивість для 0<ξ<x, щоб оцінити
використовуючи многочлен Тейлора другого порядку. Висловлюючи з цієї нерівності ex, приходимо до висновку, що
прийнявши, що чисельник приймає максимальне з усіх своїх можливих значень, а знаменник приймає мінімальне з усіх своїх можливих значень. Використовуючи ці оцінки значень ex, ми бачимо, що
і необхідна точність досягається в тому випадку, коли
(де факторіал 7!=5 040 и 8!=40 320.) Зрештою, теорема Тейлора призводить до наближення
Відзначимо, що це наближення дозволяє обчислити значення e≈2.71828 з точністю до п'ятого знака після коми.
Аналітичність
Розкладання Тейлора для дійсних аналітичних функцій Нехай I⊂R — відкритий інтервал. За означенням, функція f:I→R — дійсна аналітична, якщо вона на даній ділянці визначена збіжністю степеневого ряду. Це означає, що для кожного a ∈ I існує деяке r > 0 і послідовність коефіцієнтів c<sub>k</sub> ∈ R така, що і
Загалом, радіус збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою Коші–Адамара
Цей результат базується на порівнянні з нескінченно спадною геометричною прогресією, і той же самий метод показує, що якщо степеневий ряд, розкладений по a, збігається для деякого b∈R, він повинен збігатися рівномірно на закритому інтервалі , де rb = |b − a|. Тут ми тільки розглянули збіжність степеневого ряду, і не виключено, що область розширюється за межі області визначення I функції f.
Многочлен Тейлора від дійсної аналітичної функції f в точці a
це просте усіканням визначеного на деякому інтервалі відповідного степеневого ряду цієї функції, і залишковий член на даному інтервалі подається як аналітична функція
Тут функція
також є аналітичною, оскільки її степеневий ряд має той же радіус збіжності, що й вихідний ряд. За умови, що ⊂ I і r < R, всі ці ряди збігаються рівномірно на інтервалі . Авжеж, у випадку аналітичних функцій можна оцінити залишковий член Rk(x) шляхом «обрізання» послідовності похідних f′(a) у центрі наближення, але при використанні комплексного аналізу з'являються й інші можливості, які описані нижче.
Теорема Тейлора та збіжність ряду Тейлора Існує розбіжність між многочленами Тейлора диференційовних функцій і рядами Тейлора аналітичних функцій. Можна розглядати (справедливо) ряд Тейлора
нескінченну кількість разів диференційовної функції f:R→R як її «многочлен Тейлора нескінченно великого порядку» в точці a. Тепер оцінка залишку многочлена Тейлора має на увазі, що для будь-якого порядку k й для будь-якого r>0 існує постійна така, що
для кожного x∈(a-r, a+r). Іноді ці постійні можуть бути обрані таким чином, що , коли і залишається незмінною. Тоді ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до деякої аналітичної функції
Тут необхідно згадати важливий момент. Можлива ситуація, коли нескінченну кількість разів диференційовна функція f має ряд Тейлора в точці a, який збігається в деякому околі точки a, але гранична функція Tf відрізняється від f. Важливим прикладом цього феномену є такий
Використовуючи ланцюгове правило можна показати індуктивно, що для будь-якого порядку k,
для деякого многочлену pk. Функція прагне до нуля швидше, ніж будь-який поліном, відповідно до того, як , тоді f є нескінченну кількість разів диференційовною й для кожного додатного цілого k. Тепер оцінки для залишку многочлена Тейлора функції f показують, що ряд Тейлора збігається рівномірно до нульової функції на всій дійсній числовій осі. Не буде помилки в наступних твердженнях:
Ряд Тейлора функції f збігається рівномірно до нульової функції Tf(x)=0. Нульова функція є аналітичною, і кожний коефіцієнт її ряду Тейлора дорівнює нулю. Функція f є нескінченну кількість разів диференційовною, але не аналітичною. Для будь-якого k∈N и r>0 існує Mk, r>0 таке, що залишковий член многочлена Тейлора k-го порядку функції f задовільняє умові (*).
Теорема Тейлора в комплексному аналізі Теорема Тейлора узагальнює функції , які є комплексно диференційовними на відкритій підмножині U ⊂ C комплексної площини. Однак її корисність знижена іншими теоремами комплексного аналізу, а саме: більш повні версії подібних результатів можуть бути виведені для комплексно диференційовних функцій f : U → C з використанням інтегральної формули Коші як показано нижче.
Нехай r > 0 таке, що замкнене коло B(z, r) ∪ S(z, r) міститься в U. Тоді інтегральна формула Коші з додатною параметризацією околу S(z, r) с дає
Тут всі підінтегральні вирази є неперервними на околі S(z, r), що обґрунтовує диференціювання під знаком інтеграла. Зокрема, якщо f — один раз комплексно диференційовна на відкритій множині U, то вона фактично нескінченну кількість разів комплексно диференційовна на U. Маємо оцінку КошіRudin, 1987, § 10.26.
для будь-якого z ∈ U и r > 0 таку, що B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Ці оцінки означають, що комплексний ряд Тейлора
функції f збігається рівномірно в будь-якому колі B(c, r) ⊂ U з S(c, r) ⊂ U в деякій функції Tf. Крім того, використовуючи формулу інтегрування по контуру для похідних f(k)(c),