Ергодична теорема або теорема ергодичності () — у ізольованій системі середні значення по часові дорівнюють середнім значенням мікроканонічного ансамблю.
Широко використовується при описі хімічних процесів методами статистичної фізики. Загальний опис
Ергодична теорія — це розділ математики, який вивчає статистичні властивості детермінованих динамічних систем; це вивчення ергодичності. У цьому контексті «статистичні властивості» стосуються властивостей, які виражаються через поведінку часових середніх різних функцій вздовж траєкторій динамічних систем. Поняття детермінованих динамічних систем припускає, що рівняння, що визначають динаміку, не містять жодних випадкових збурень, шуму тощо. Таким чином, статистика, яка нас цікавить, є властивостями динаміки.
Ергодична теорія, як і теорія ймовірностей, базується на загальних поняттях теорії міри. Її початковий розвиток був мотивований проблемами статистичної фізики.
Центральним питанням ергодичної теорії є поведінка динамічної системи, коли їй дозволяють працювати протягом тривалого часу. Першим результатом у цьому напрямку є теорема Пуанкаре про рекурентність, яка стверджує, що майже всі точки в будь-якій підмножині фазового простору зрештою повертаються до цієї множини. Системи, для яких виконується теорема Пуанкаре про рекурентність, є консервативними системами; таким чином, усі ергодичні системи є консервативними.
Більш точну інформацію надають різні ергодичні теореми, які стверджують, що за певних умов середнє значення функції вздовж траєкторій існує майже скрізь і пов'язане з просторовим середнім значенням. Дві найважливіші теореми - це теореми Біркгофа (1931) та фон Неймана, які стверджують існування середнього значення вздовж кожної траєкторії. Для спеціального класу ергодичних систем це середнє значення однакове майже для всіх початкових точок: статистично кажучи, система, яка еволюціонує протягом тривалого часу, "забуває" свій початковий стан. Сильніші властивості, такі як перемішування та рівномірний розподіл, також були широко вивчені.
Проблема метричної класифікації систем є ще однією важливою частиною абстрактної ергодичної теорії. Видатну роль в ергодичній теорії та її застосуванні до стохастичних процесів відіграють різні поняття ентропії для динамічних систем.
Поняття ергодичності та ергодичної гіпотези є центральними для застосувань ергодичної теорії. Основна ідея полягає в тому, що для певних систем середнє значення їхніх властивостей за часом дорівнює середньому значенню по всьому простору. Застосування ергодичної теорії до інших розділів математики зазвичай передбачає встановлення властивостей ергодичності для систем спеціального виду. У геометрії методи ергодичної теорії використовувалися для вивчення геодезичного потоку на ріманових многовидах, починаючи з результатів Еберхарда Хопфа для ріманових поверхонь негативної кривини. Ланцюги Маркова утворюють спільний контекст для застосувань у теорії ймовірностей. Ергодична теорія має плідні зв'язки з гармонічним аналізом, теорією Лі (теорія представлень, решітки в алгебраїчних групах) та теорією чисел (теорія діофантових наближень, L-функції).
Див. також Ергодичний розподіл Ергодичність Ергодична теорема Біркгофа — Хінчина Ергодична теорема Маркова
Джерела