Чисельні методи в загальній теорії відносності, також чисельна теорія відносності або чисельна відносність () — галузь загальної теорії відносності, що розробляє й застосовує чисельні методи й алгоритми для комп'ютерного моделювання фізичних процесів у сильних гравітаційних полях, коли рівняння Айнштайна розв'язують чисельно. Чисельні методи загальної теорії відносності дозволяють розв'язувати такі астрофізичні задачі з сильними гравітаційними полями, як гравітаційний колапс, нейтронні зорі, чорні діри, злиття тісних подвійних систем, гравітаційні хвилі. Через складність і нелінійність рівнянь Айнштайна їх розв'язання потребує спеціальних чисельних методів і часто також великих обчислювальних ресурсів, доступних лише для суперкомп'ютерів.

Перші спроби чисельного розв'язання рівнянь загальної теорії відносності здійснювали вже в 1960-х і 1970-х роках, однак лише в 1980-ті та 1990-ті роки з'явилися достатньо потужні математичні методи й обчислювальні потужності для моделювання реалістичних астрофізичних задач, таких як гравітаційний колапс обертової зорі в керрівську чорну діру або лобове зіткнення чорних дір. Прогресу чисельних методів загальної теорії відносності сприяли розробка різних версій математичного «розщеплення 3+1» (відділення часової координати від трьох просторових), близьких до формалізму Арновітта — Дезера — Мізнера, а також різні підходи до чисельних реалізацій — вилучення областей простору-часу під горизонтом подій («метод вирізання»), заміна сингулярностей чорних дір аналітичними розв'язками («метод проколів»), адаптивне уточнення сітки. У 2000-х роках це вже дозволило моделювати злиття чорних дір на довільних орбітах, що згодом стало критично важливим для відкриття й інтерпретації гравітаційних хвиль.

Загальні відомості

Головна мета чисельних методів загальної теорії відносності — дослідження гравітаційних полів, розв’язки для яких неможливо отримати аналітично. Такі поля можуть бути як повністю динамічними, так і стаціонарними чи статичними, а також можуть включати матеріальні поляВ загальній теорії відносності всі поля, крім гравітаційного, називають матеріальними. або бути вакуумними. Для стаціонарних і статичних розв'язків чисельні методи використовують, зокрема, для дослідження їхньої стійкості. У випадку динамічних гравітаційних полів задачу поділяють на дві частини, які потребують різних підходів: визначення початкових значень і моделювання еволюції.

Чисельні методи в загальній теорії відносності застосовують до фізичних систем, які неможливо описати за допомогою наближень, справедливих для слабких полів і малих швидкостей, як-от постньютонівський формалізм чи теорія збурень. Зокрема, вони допомагають у дослідженнях космологічних моделей, критичних явищ у гравітаційному колапсі, а також процесів за участю чорних дір і нейтронних зір, особливо їхніх злиттів і збурень. У кожному з цих випадків необхідно відстежувати еволюцію простору-часу, для чого рівняння Айнштайна можна записати кількома способами. Найпоширенішими є підходи на основі задачі Коші, проте застосовують також метод характеристик, а також методи, засновані на численні Редже. Усі ці підходи починаються з «миттєвого стану» гравітаційного поля на деякій гіперповерхні, тобто з початкових даних, і далі відстежують його еволюцію до наступних близьких гіперповерхонь, рухаючись уперед у часі.

Як і в усіх задачах чисельного аналізу, у чисельних методах загальної теорії відносності особливу увагу приділяють стійкості та збіжності чисельних розв'язків, а також припустимим початковим і граничним умовам. Специфіку чисельних методів загальної теорії відносності визначають ускладнення, пов'язані з наявністю калібрувальних і координатних умов, а також різними формами запису рівнянь Айнштайна та їхнім впливом на можливість отримувати точні чисельні розв'язки. Багато чисельних методів, застосовуваних у класичній теорії поля, непридатні для загальної теорії відносності. Водночас у великомасштабних задачах чисельна теорія відносності має багато спільного з іншими обчислювальними науками, зокрема з обчислювальною гідродинамікою, електродинамікою та механікою твердого тіла. Дослідники в цій галузі часто співпрацюють із прикладними математиками та працюють на перетині таких розділів математики, як чисельний аналіз, паралельні обчислення, диференціальні рівняння з частинними похідними й геометрія. Чисельні моделювання в загальній теорії відносності потребують спеціальних обчислювальних методів через складність і нелінійність рівнянь Айнштайна (наприклад, гіперболічність і коректність постановки задачі Коші для їхньої часової еволюції залежать від форми запису рівнянь, а також початкових і граничних умов), а також — для більшості тривимірних задач — значних обчислювальних ресурсів, доступних лише сучасним суперкомп'ютерам.

Історія

Теоретичні основи Альберт Айнштайн опублікував остаточну версію загальної теорії відносності 1915 року. Ця теорія, як і попередня спеціальна теорія відносності, описує простір і час як єдину сутність — простір-час, еволюція якого підпорядкована рівнянням Айнштайна. Вони утворюють систему зв'язаних нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Протягом понад століття після їх виведення знайшли лише відносно невелику кількість фізично змістовних точних аналітичних розв'язків цих рівнянь, причому більшість із них отримано у випадку високої симетрії, що спрощує розв'язання, як-от розв'язки Фрідмана для однорідного та ізотропного Всесвіту.

Чисельні методи загальної теорії відносності з’явилися через необхідність дослідження більш загальних та фізично значущих розв'язків рівнянь Айнштайна, розв'язуючи їх чисельно. Необхідною передумовою такого підходу стало розщеплення чотиривимірного простору-часу на тривимірну просторову та одновимірну часову складові — так зване «розщеплення 3+1». Його можна здійснити багатьма способами, які можуть як ускладнювати, так і спрощувати інтегрування відповідних рівнянь. Перше успішне розщеплення запропонували Річард Арновітт, Стенлі Дезер і Чарлз Мізнер наприкінці 1950-х років у межах гамільтонового формалізму, спираючись на підхід Поля Дірака. У результаті вони отримали рівняння, що утворюють так званий АДМ-формалізм — формалізм Арновітта — Дезера — Мізнера. Хоча з технічних причин ці рівняння виявилися не дуже зручними для чисельного інтегрування (вони лише слабо гіперболічні й тому рідко застосовуються в реальних обчисленнях), переважна більшість практичних чисельних методів загальної теорії відносності використовує розщеплення 3+1, близьке до АДМ-формалізму. Таке розщеплення дає змогу переформулювати рівняння Айнштайна у вигляді задачі Коші з обмеженнями на початкові дані, що вже піддається чисельному розв'язанню на комп'ютерах.

Координати в просторі-часі визначені неоднозначно, тому навіть якщо зафіксувати координати на початковій гіперповерхні, під час переходу до сусідньої гіперповерхні часові та просторові координати можна змінювати по-різному в різних точках (вже в спеціальній теорії відносності швидкість плину часу відрізняється в різних інерціальних системах відліку), що є характерною особливістю чисельних методів загальної теорії відносності. Ця калібрувальна свобода не впливає на фізичні процеси, а лише змінює їхній опис у координатах і, відповідно, вигляд рівнянь. Вона проявляється у довільності вибору функцій ходу і зсуву , що «переносять» точки з фіксованими просторовими координатами з початкової на сусідню гіперповерхню: вперед у часі () і вбік у просторі (). Можливість вибору цих функцій є потенційною перевагою для чисельного розв'язання рівнянь, але багато «природних» виборів координатних або калібрувальних умов спричиняють числову нестійкість розв'язків і призводять до збою моделювання.

На момент публікації перших робіт з АДМ-формалізму розвиток комп'ютерної техніки ще не дозволяв виконувати обчислення за цими рівняннями для задач будь-якого адекватного масштабу. Історично першу спробу чисельного розв'язання рівнянь Айнштайна здійснили Ган і Ліндквіст у 1964 році, а згодом у 1970-х роках і Епплі. Ці ранні роботи стосувалися еволюції початкових даних Мізнера в аксіально-симетричних просторах (також відомих як «2+1-вимірні»). Приблизно в той самий час Цві Піран створив перший код, що відстежував еволюцію циліндрично-симетричної системи, яка випромінює гравітаційні хвилі. У цій роботі Піран заклав низку концепцій, які нині застосовують у чисельних методах загальної теорії відносності, зокрема вільну еволюцію () та обмежену еволюцію () — підходи, що по-різному трактують поширення обмежень початкових даних у часі. Використання симетрій зменшило вимоги до пам'яті та обчислювальної потужності, що дозволило застосовувати тодішні суперкомп'ютери для розв'язання цієї задачі.

Ранні результати Перші реалістичні обчислення для справжньої астрофізичної задачі — колапсу з обертанням — виконали на початку 1980-х років Річард Старк і Цві Піран. У цих роботах уперше обчислили гравітаційні хвилі, що випромінюються під час формування обертової чорної діри. Протягом майже двох десятиліть після цієї публікації з'явилося лише кілька нових результатів у галузі чисельних методів загальної теорії відносності, ймовірно, через відсутність достатньо потужних комп'ютерів. У 1990-х роках «Альянс великого виклику з подвійних чорних дір» () успішно змоделював лобове зіткнення двох чорних дір, використавши спрощення, пов'язані з аксіальною симетрією задачі. На етапі післябробки дослідники змогли обчислити горизонт подій для отриманого розв'язку.

Деякі з перших відомих спроб чисельно розв'язати рівняння Айнштайна в повній тривимірній геометрії простору зосереджувалися на необертовій шварцшильдівській чорній дірі, яка є статичним і сферично-симетричним розв'язком рівнянь Айнштайна. Це зручна тестова задача для чисельних методів загальної теорії відносності, оскільки, по-перше, розв'язок відомий у точній аналітичній формі і його можна порівнювати з чисельними результатами, по-друге, він статичний, і до нього з часом має сходитися будь-яка необертова чорна діра, а по-третє, розв'язок містить один із найскладніших для моделювання об'єктів — фізичну гравітаційну сингулярність у центрі. Одну з перших спроб чисельно відтворити цей розв'язок здійснили Аннінос і співавтори у 1995 році. У цій роботі вони зазначали:

Розвиток галузі

У наступні роки поряд зі зростанням потужності комп'ютерів, різні наукові групи розробили альтернативні підходи для підвищення ефективності обчислень. Спочатку група Lazarus створила методи, які використовували ранні результати короткотривалих моделювань, що розв'язували нелінійні АДМ-рівняння для злиття чорних дір, щоб сформувати початкові дані для стійкішого коду, заснованого на лінеаризованих рівняннях теорії збурень для ізольованої чорної діри. Згодом для моделювання чорних дір розробили дві техніки, які дозволяють обійти проблеми, пов'язані з існуванням фізичної сингулярності в розв'язках: (1) метод вирізання та (2) метод «проколів». Поєднання цих підходів із відповідними координатними умовами привело до прориву в моделюванні подвійних чорних дір у 2005 році, започаткованого роботою Преторіуса. Уже за кілька років нові чисельно стійкі методи дозволили моделювати майже довільні конфігурації подвійних чорних дір, які здійснюють десятки й сотні обертів одна навколо одної до злиття. Крім того, у чисельних методах загальної теорії відносності почали застосовувати методи адаптивного уточнення сітки, які раніше використовувалися в обчислювальній гідродинаміці.

Проєкт Lazarus