У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; ) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості , §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова. Загальне твердження було незалежно доведене Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения , 1959. та Д. П. ЛаСалємLaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. . В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.
Постановка Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .
Теорема Барбашина — Красовського Якщо існує нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
Принцип інваріантності ЛаСаля Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє коли , повсюди, з тим як . Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.
Див. також Функція Ляпунова Теорія стійкості
Примітки
Оригінальні статті LaSalle J. P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. — Загальне твердження. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952. — Окремий випадок. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. — Загальне твердження.
Посилання Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — : Вища школа, 1994. Перестюк М. О., Чернікова О. С. Теорія стійкості.