Математика та архітектура взаємопов'язані, оскільки як і в інших видах мистецтв, архітектори використовують математику для різних цілей. Крім математики для проектування будівель, архітектори використовують і геометрію: для визначення просторових форм; починаючи з піфагорійців, для створення форм, які вважаються гармонійними, та відповідно для планування будівель та їх оточення відповідно до математичних, естетичних і деколи релігійних принципів; для прикрашення будівель математичними об'єктами, наприклад теселяціями; та для досягнення «зелених» цілей, наприклад для мінімізації швидкості вітрів біля основ високих будівель.

У давньоєгипетській, давньогрецькій, індійській та ісламській архітектурах будівлі, включаючи піраміди, храми, мечеті, палаци та мавзолеї створювались з релігійних причин за певними пропорціями. В ісламській архітектурі], геометричні форми та стрічкові орнаменти використовувались для прикрашення будівель зовні та всередині. Деякі індуські храми структурою нагадують фрактали, де частина схожа на ціле, що передає ідею індуської космології. У XXI столітті математичні орнаменти знову використовуються для прикрашення публічних будівель.

В архітектурі Відродження, симетрія та пропорція навмисно підкреслювались такими світськими архітекторами як Леон-Баттіста Альберті, Себастьяно Серліо та Андреа Палладіо, що перебували під впливом давньоримського твору «De architectura» Вітрувія та давньогрецької арифметики піфагорейців.

Наприкінці XIX століття Володимир Шухов у Російській імперії та Антоніо Гауді у Барселоні стали піонерами використання гіперболоїдних конструкцій. У храмі Святого Сімейства Гауді також використав гіперболічні параболоїди, теселяції, ланцюгові арки, катеноїди, гелікоїди та лінійчаті поверхні.

У 20-му ст. такі стилі як модернізм та деконструктивізм досліджували різні геометрії для отримання бажаних ефектів. Так, мінімальні поверхні були використані у схожих на тент дахах Денверського міжнародного аеропорту, США, а Річард Бакмінстер Фуллер став піонером у використання сильних черепашкових структур відомих як геодезичний купол.

Пов'язані галузі

Архітектура та математика пов'язані принаймні з часів Античності. У Стародавньому Римі, Вітрувій визначав архітектора як людину, яка знала ряд інших дисциплін, в першу чергу геометрію, що дозволяло йому наглядати за майстрами у всіх інших галузях будівництва, наприклад за каменярами та столярами. Те саме вимагалось в і Середньовіччі, коли студенти-архітектори вивчали арифметику, геометрію та естетику поруч зі стандартними граматикою, логікою та риторикою (тривіум), а майстер-будівельник на піку кар'єри отримував титул архітектора чи інженера. У часи Відродження, цей додатковий план навчання став квадривіумом арифметики, геометрії, музики та астрономії, — науки, знання яких очікувалось від людини епохи Відродження як Леон-Баттіста Альберті. Відомий і сьогодні англійський архітектор сер Крістофер Рен, у свій час був в першу чергу відомий як астроном.

Вільямс та Оствальд у дослідженні взаємодії математики та архітектури починаючи з 1500 року з використанням підходу німецького соціолога Теодора Адорно визначають три тенденції серед архітекторів, а саме: бути революціонером, пропонуючи повністю нові ідеї; бути реакціонером, не пропонуючи змін; або пропагувати відродження, тобто рухатись назад. Вони доводять, що у часи реакції чи відродження архітектори уникали звернення до математика за натхненням. Це могло б пояснити, чому у періоди відродження, наприклад у неоготиці Англії XIX століття, архітектура практично не мала зв'язку з математикою. Аналогічно у часи реакції, які як італійський маньєризм 1520—1580 років, чи бароко та палладіанство XVII століття, до математики майже не звертались. Натомість, революційні рухи початку 20-го ст., такі як футуризм та конструктивізм активно відкидали старі ідеї та використовуючи математику, призвели до архітектури модернізму. Наприкінці XX століття фракталльна геометрія та аперіодичний поділ площини були швидко сприйняті архітекторами та використані у створенні зовнішнього оздоблення споруд.

Крім власне необхідності математики для проектування (обрахунку) будівель, архітектори використовують її і для інших цілей: по-перше, вони використовують геометрію, яка визначає просторові форми; по-друге, вони використовують математику для проектування форм, які вважаються красивими або гармонійними. З часів піфагорійців з їх релігійною філософією числа, архітектори Стародавньої Греції, Стародавнього Риму, ісламського світу та італійського Відродження обирали пропорції будівель та їх оточення у відповідності до математичних, естетичних та деколи релігійних принципів; по-третє, вони можуть використовувати математичні об'єкти, такі як теселяції для оздоблення будівель; в четверте, вони можуть використовувати математику за допомогою комп'ютерних моделей для вирішення екологічних питань, наприклад мінімізації закручення потоків вітру внизу хмарочосів.

Гармонійні просторові форми

Світська естетика

Стародавній Рим

Вітрувій

Впливовий давньоримський архітектор Вітрувій доводив, що дизайн будівлі такої як храм залежить від двох характеристик — симетрії та пропорції. Пропорція забезпечує, щоб кожна частина будівлі гармонійно пов'язувалася зі всіма іншими частинами. Симетрія у розумінні Вітрувія за змістом відповідала більше поняттю «модульна структура», а не «осьова симетрія», оскільки вона також стосувалася поєднанню (модульних) частин будівлі у ціле. У його базиліці у Фано, Вітрувій використав співвідношення малих цілих чисел, особливо трикутних чисел (1, 3, 6, 10, …) для створення пропорційного поділу будівлі на (вітрувіанські) модулі. Тому, співвідношення ширини до довжини базиліки становить 1:2; неф довкола неї має однакову ширину та висоту, 1:1; колони мають товщину 5 футів та висоту 50 футів, 1:10.

У трактаті «De architectura» (бл. 15 р. до н. е.) Вітрувій назвав три якості, які вимагаються від архітектури будівлі: стійкість, корисність та насолода. Ця якості модна використати як категорії для класифікації використання математики у архітектурі. Стійкість охоплює використання математики для забезпечення стійкості будівлі, її стабільності та запланованої поведінки (наприклад при землетрусах). Корисність частково походить з ефективного використання математики для створення та аналізу просторових та інших відносин у проектуванні. Насолода — це атрибут збудованої споруди, що походиить від втілення математичних відносин у будівлі і включає естетичні, чуттєві та інтелектуальні якості.

Пантеон Римський Пантеон вцілів неушкодженим та демонструє класичну римську структуру, пропорцію та оздоблення. Основна його конструкція — купол, вершина якого має круглий отвір для потрапляння світла; попереду купола розташована коротка колонада з трикутним фронтоном. Висота до отвору та діаметр внутрішнього кола однакові — 43,3 метри, тому весь інтер'єр точно впишеться у куб, а в нього можна вписати сферу такого самого діаметра. Ці значення легше сприймати, якщо представити їх у давньоримських одиницях вимірювання: діаметр купола становить 150 римських футів,; отвір згори має діаметр 30 римських футів, а двері — 40 римських футів у висоту. Пантеон залишається найбільшим в світі неармованим бетонним куполом.

Відродження

Леон-Баттіста Альберті написав перший трактат часів Відродження про архітектуру — «De re aedificatoria» (Про мистецтво будівництва), який став і першою надрукованою книгою про архітектуру 1485 року. Вона частково спирається на «De architectura» Вітрувія, та, через Нікомаха, на піфагорейську арифметику. Альберті починає з куба та виводить з нього співвідношення: діагональ сторони дає співвідношення 1:√2, а діаметр сфери, в які вписаний куб — співвідношення 1:√3. Альберті також задокументував відкриття Філіппо Брунеллескі лінійної перспективи, розробленої для проектування будівель, які будуть виглядати красиво пропорційними при спогляданні з певної відстані.

Другим важливим трактатом став «Regole generali d'architettura» (Загальні правила архітектури) Себастьяно Серліо, перший том яких з'явився у Венеції 1537; том 1545 року (книги 1 та 2) розповідав про геометрію та перспективу. Два методи Серліо з конструювання перспективи були неправильні, але це не завадило широкому використанню книги.

У 1570 році у Венеції Андреа Палладіо надрукував впливову працю «Чотири книги про архітектуру». Поширений друк цієї книги значною мірою сприяв поширенню ідей італійського Відродження на Європу, за допомогою таких прихильників як англійський дипломат Генрі Воттон з його книгою 1624 року «елементи архітектури». Палладіо розраховував пропорції кожної кімнати у віллі за допомогою простих математичних співвідношень, наприклад 3:4 та 4:5, і різні кімнати в будинку були пов'язані з цими співвідношеннями. Попередні архітектори використовували ці формули для балансування єдиного симетричного фасаду, а проекти Палладіо використовували їх у всій, як правило квадратній, віллі Палладіо у «Quattro libri» дозволив деякі співвідношення, зазначивши:

Вінченцо Скамоцці 1615 року надрукував трактат пізнього Відродження «L'Idea dell'Architettura Universale» (Ідея універсальної архітектури), в якому намагався пов'язати дизайн міст та будівель з ідеями Вітрувія і піфагорейців та більш сучасними йому ідеями Палладіо.

XIX століття

Володимир Шухов наприкінці XIX століття почав використовувати гіперболоїдні конструкції для опор, маяків та градирень. Їх яскрава форма одночасно естетично цікава та міцна, і економно використовує будівельні матеріали. Перша Шуховська вежа демонструвалась у Нижньому Новгороді 1896 року.

XX століття

Мистецький рух початку 20-го ст. — модерністська архітектура, використовував прямокутну евклідову геометрію. На думку руху De Stijl горизонталі та вертикалі були частиною універсального, а архітектурна форма є складанням разом цих двох напрямків, використовуючи площини дахів, стін, балконів, які або «ковзають» один по одному або перетинаються, наприклад як у будинку Шредер 1924 року за проектом Герріта Рітвельда.

Модерністські архітектори вільно використовували не лише площини, а й кривини. Так станція лондонського метро «Арнос Гроув» 1933 року роботи Чарльза Холдена має круглий цегляний вестибюль з пласким бетонним дахом. У 1938 році, художник напрямку Баухаус Лазло Мохолі-Наг взяв у використання сім біотехнічних елементів Рауля Генріха Франса, а саме кристал, сферу, конус, площину, (кубоїдну) стрічку, (циліндричний) стрижень та спіраль, як базові будівельні блоки архітектури, натхненної природою.

Ле Корбюзьє запропонував антропометричну шкалу пропорцій в архітектурі «модулор», яка була заснована на припущення про зріст чоловіка. Його каплиця Нотр-Дам-дю-О 1955 року використовує вільні криві, які не можна описати математичними формулами Вважається, що її форми наслідують природні, наприклад ніс корабля або руки, складені у молитві. Проект присутній лише на найбільшому масштабі: ієрархія деталей на менших масштабах відсутня, а тому відсутній фрактальний вимір; те саме стосується і інших відомих будівель XX століття — Сіднейського оперного театру, Міжнародного аеропорту Денвера та музею Гуггенгайма в Більбао.

Сучасна архітектура, на думку самих ведучих архітекторів, висловлену в опитуванні 2010 року «World Architecture Survey», є надзвичайно різноманітною; найкращим прикладом вони визначили музей Гуггенгайма у Більбао роботи Франка Гері.

Будівля терміналу Денверського міжнародного аеропорту, завершена 1995 року, має тканинний дах, що підтримується сталевими тросами, який є мінімальною поверхнею] (тобто її середня кривина — нуль), що нагадує покриті снігом вершини Колорадо та тенти тіпі корінних народів США.

Архітектор Річард Бакмінстер Фуллер знаменитий проектуванням сильних тонких конструкцій відомих як геодезичний купол. Купол монреальської Біосфери має 61 м у висоту та діаметр 76 м.