Математика та мистецтво пов'язані здавна та декількома шляхами. Математику описували як мистецтво, мотивоване красою. Математика існує в таких мистецтвах як музика, танець, малярство, архітектура, скульптура та текстиль. В цій статті увагу приділено математиці у образотворчому мистецтві.
Митці використовували математику принаймні з V ст. до н. е., коли давньогрецький скульптор Поліклет із Аргоса написав свій «Канон», за яким ідеальними пропорціями оголеного чоловіка були пропорції, засновані на співвідношенні 1:√2. Популярною, але не надійно підтвердженою, є думка про використання золотого перетину у стародавньому мистецтві та архітектурі. В часи італійського Відродження, Лука Пачолі написав впливовий трактат «De Divina Proportione» (1509), ілюстрований гравюрами Леонардо да Вінчі, про використання золотого перетину в мистецтві. Інший італійський художник, П'єро делла Франческа, розробляв ідеї Евкліда по перспективі у трактатах (напр. «De Prospectiva Pingendi») та картинах. Альбрехт Дюрер зробив багато посилань на математику у його гравюрі «Меланхолія І». У сучасності, графічний артист М. К. Ешер активно використовував теселяцію та гіперболічну геометрію з допомогою математика Гарольда Коксетера, а рух «De Stijl» на чолі з Тео ван Дусбургом та Пітом Мондріаном прямо використовував геометричні форми. Математика надихнула текстильне мистецтво, такі як виготовлення стьобаних виробів, в'язання, вишивка хрестом, мереживо, вишивання, ткацтво, створення турецьких та інших килимів. В ісламському мистецтві симетрія повсюди, в таких формах як перський джиріх та марокканська плитка зулляйдж, могольські джалі — екрани різаного каміння, та широко поширене склепіння з мукарнами.
Математика прямо впливала на мистецтво такими концептуальними інструментами як лінійна перспектива, аналізом симетрії та математичними об'єктами як многогранники та стрічка Мебіуса. Маґнус Веннінґер створює чудові зірчасті многогранники, спочатку вигадані як моделі для навчання. Такі математичні концепції як рекурсія та логічний парадокс можна побачити у картинах Рене Магрітта та гравюрах М. С. Ешера, комп'ютерне мистецтво часто використовує фрактали, включно з множиною Мандельброта, та деколи інші математичні об'єкти як клітинний автомат. В протилежному напрямку, митець Девід Гокні доводить, що митці Відродження і пізніше використовували камеру-люціду для малювання точних відтворень сцен; архітектор Філіпп Стедмен доводить, що Ян Вермер використовував камеру-обскуру у свої картинах з точним відтворенням сцен.
Інші приклади зв'язку включають алгоритмічний аналіз предметів мистецтва з використанням рентгенофлуоресцентної спектроскопії та стимули для математичного аналізу, особливо теорія перспективи Філіппо Брунеллескі, що врешті решт привела до проективної геометрії Жерара Дезарга.
Популярна точка зору, заснована на піфагорейській думці про гармонію у музиці, полягає в тому, що все було організовано Числом, що Бог є геометром світу, а тому світова геометрія є сакральною, що можна побачити у «The Ancient of Days» Вільяма Блейка.
Витоки: від Стародавньої Греції до Відродження
«Канон» Поліклета та симетрія
Поліклет Старший (бл.450–420 рр. до н. е.) був грецьким скульптором зі школи Аргоса та сучасником Фідія. Його роботи та статуї переважно зображували атлетів та виконувались у бронзі. Відповідно до математика Ксенократа, Поліклет вважається одним з найбільш важливих скульпторів класичної античності за його роботу «Дорифор» та статую Гери в Герайоні Аргоса. Хоча його скульптури не були настільки відомі як Фідія, вони дуже цінувались. В своєму трактаті «Канон» Поліклет написав про «ідеальні» анатомічні пропорції оголеного чоловіка та запропонував математичний підхід до створення скульптури людського тіла.
Поліклет використовував дистальну фалангу мізинця як базову одиницю вимірювання пропорцій людського тіла. Він помножує довжину дистальної фаланги на квадратний корінь з двох (√2) для визначення довжини середньої фаланги, знову помножує його на √2 для отримання довжини основної фаланги. Далі він бере довжину пальця руки та помножує її на √2 для отримання довжини долоні від основи пальця до ліктьової кістки. Цей геометричний ряд продовжується, доки Поліклет формує руку, тіло тощо.
«Канон» вчинив величезний вплив на скульптуру Стародавньої Греції, Стародавнього Риму та Відродження, багато скульпторів використовували його приписи. І хоча жодна з оригінальних скульптур Поліклета не збереглася, існують давньоримські копії, які демонструють його ідеал фізичної класи та математичної точності. Деякі науковці доводять, що піфагорейська думка вплинула на «Канон». «Канон» застосовує базові математичні концепції давньогрецької геометрії, наприклад співвідношення, пропорція та симетрія (з грецької «гармонічні пропорції») та перетворює їх у систему, здатну описати людину серією безперервних геометричних рядів.
Перспектива та пропорція
У стародавні часи, художники не робили далекі об'єкти та фігури меншими за допомогою лінійної перспективи, а використовували їх розмір для позначення тематичної важливості. У Середньовіччі, деякі митці використовували обернену перспективу для особливого наголосу. Мусульманський математик Ібн ал-Хайсам описав теорію оптики у своїй «Книзі оптики» 1021 року, але вона ніколи не застосовувалась до мистецтва. Відродження сприяло поновленню культури та ідей Стародавніх Греції та Риму, серед них дослідження математики для розуміння природи та мистецтва. В Пізньому Середньовіччі та Відродженні митців штовхали до математики дві основні причини: (1) художникам було потрібно зрозуміти тривимірні сцени на двовимірному полотні; (2) філософи та митці були впевнені, що математика була справжнім центром фізичного світу та що весь всесвіт, у тому числі мистецтво, може бути пояснений геометрично.
Початок використання перспективи на картинах належить Джотто, який намагався малювати перспективу з використанням альгебраїчного методу для визначення розташування віддалених ліній. У 1415 році у Флоренції італійський архітектор Філіппо Брунеллескі та його друг Леон-Баттіста Альберті продемонстрували геометричний метод застосування перспективи, використавши подібні трикутники (у формулюванні Евкліда) для пошуку видимої висоти віддалених предметів. Картини самого Брунеллескі з перспективою втрачені, але картина Мазаччо «Свята Трійця» демонструє його принципи на практиці.
Італійський художник Паоло Учелло захоплювався перспективою, як видно з його картин «Битва при Сан-Романо» — зламані списи лежать вздовж ліній перспективи.
Художник П'єро делла Франческа був досвідченим математиком та геометром, написавши декілька книжок про геометрію тіл та перспективу, включно з «De Prospectiva Pingendi» (Про перспективу у живописі), «Trattato d'Abaco» (Трактат про абак) та «De corporibus regularibus» (Про правильні тіла). Історик Джорджо Вазарі у своїй роботі «Життєписи найславетніших живописців, скульпторів та архітекторів» називає П'єро «найкращим геометром його часу, а може й всіх часів». Інтерес П'єро до перспективи можна побачити в його картинах, у тому числі «Поліптих про Перуджу», вівтарі Святого Августина та «Побиття Христа біля колони». Його праці з геометрії вплинули на пізніших математиків та митців, включно з Лука Пачолі у його «De Divina Proportione» та Леонардо да Вінчі. П'єро вивчав класичну математику та роботи Архімеда. Він навчався комерційній арифметиці у «школі абака» і його твори скомпоновані як підручники таких шкіл, можливо включаючи книгу Леонардо Пізано (Фібоначчі) «Книга абака» 1202 року. На той час лінійна перспектива щойно з'явилась серед художників. Леон-Баттіста Альберті пояснював: «світло рухається від сцени, яку спостерігають, до ока прямими лініями, формуючи щось схоже на піраміду, вершиною якої є око.» А картина, в якій використана лінійна перспектива, є зрізом такої піраміди.
У «De Prospectiva Pingendi», П'єро перетворює свої емпіричні спостереження за тим, як аспекти фігури змінюються зі зміною точки спостереження, у математичні виклади. Його трактат починається у стилі Евкліда: він визначає крапку як «найтоншу річ, яку може побачити око», а далі використовує дедуктивну логіку, щоб направити читача до перспективного зображення тривимірного тіла.
Митець Девід Гокні у своїй книзі «Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters» доводив, що європейські художники почали використовувати камеру-люціду з 1420-х років, що мало наслідком раптову зміну у точності та реалізмі, і ця практика продовжувала застосовуватись відомими художниками, включно з Енгром, ван Ейком та Караваджр. Однак критики не погоджуються з теорією Гокні. Так само суперечливою є теорія Філіпа Стедмена, що Ян Вермер використовував інший прилад, камеру-обскуру, для допомоги у створенні своїх картин.
Лука Пачолі 1509 року написав свою книгу «De divina proportione» про математичні та художні пропорції, включно з пропорціями людського обличчя. Книга була проілюстрована гравюрами регулярних тіл, створеними Леонардо да Вінчі за часів навчання у Пачолі у 1490-х роках. Малюнки Леонардо є ймовірно першими ілюстраціями скелетних тіл та одними з перших, які демонстрували перспективу накладання одного тіла на інше. У праці обговорюється перспектива у роботах П'єро делла Франческа, Мелоццо да Форлі та Марко Палмеццано. Да Вінчі вивчав іншу книгу Пачолі — «Summa», з якої скопіював таблиці пропорцій. У таких картинах як «Мона Ліза» та «Тайна вечеря» для позначення видимої глибини застосовувалась лінійна перспектива зі зникомою точкою. «Тайна вечеря» створена з використанням співвідношення 12:6:4:3, так само як і «Афінська школа» Рафаеля, яка включає Піфагора з табличкою ідеальних співвідношень, священною для всіх піфагорійців. У «Вітрувіанській людині», Леонардо виразив ідеї давньоримського архітектора Вітрувія, двічі показавши чоловічу фігуру та вписавши її в коло та в квадрат.
Вже у XV сторіччі у картинах митців, що цікавились викривленнями зображень, з'явилась криволінійна перспектива. Ян ван Ейк 1434 року включив до картини «Портрет подружжя Арнольфіні» опукле дзеркало з віддзеркаленням людей у сюжеті, а Франческо Парміджаніно в «Автопортреті в опуклому дзеркалі» (бл.1523–24 рр.) показує майже невикривлене зображення обличчя митця та сильно викривлений задній план.
Тривимірний простір можна переконливо передати і в мистецтві і в кресленні іншими способами, ніж лінійна перспектива. Косі проєкції, у тому числі кавалерійська перспектива (яку використовували французькі військові художники XVIII сторіччя для зображення укріплень), постійно та повсюдно використовувались китайськими художниками з I–II сторіччя н. е. по XVIII сторіччя. Вважається, що вони запозичили цю техніку з Індії, а індійці — зі Стародавнього Риму. Косу проєкцію можна побачити і в японському мистецтві, наприклад на картинах укійо-е Торіі Кійонага (1752—1815).
Золотий перетин Золотий перетин, що грубо дорівнює 1,618, був відомий ще Евкліду, і його в сучасності постійно намагаються оголосити таким, що постійно використовувався у мистецтві та архітектурі стародавнього Єгипту, Греції та інших країн, але таким теоріям бракує надійних доказів. Можливо таке твердження з'явилось від плутанини з «золотою серединою», що для стародавніх греків означало «уникнення надлишку у всіх напрямках», а не співвідношення.
З XIX ст. пірамідологи з використанням сумнівних математичних засад доводили про використання золотого перетину у створенні пірамід Також доводили, що Парфенон (V ст. до н. е.) в Афінах мав золотий перетин на фасаді та поземному плані, але ці твердження були спростовані вимірами. Аналогічні твердження були про використання золотого перетину у мечеті Укба в Тунісі, але такий перетин відсутній в оригінальних частинах мечеті. Історик архітектури Фредерік Макоді Лунд доводив 1919 року, що Шартрський собор (XII ст.), Ланський собор (1157—1205) та Собор Паризької Богоматері (1160) всі були спроектовані з використанням золотого перетину.