Розв'язування трикутників () — історичний термін, що означає розв'язування головної тригонометричної задачі: за відомими даними про трикутник (сторони, кути і т. д.) знайти інші його характеристики. Існує також узагальнення цієї задачі на випадок, коли задані інші елементи трикутника (наприклад, медіани, бісектриси, висоти, площі та ін.). Трикутник може розташовуватися на площині або на сфері. Ця задача часто зустрічається, наприклад, в геодезії, астрономії, будівництві, навігації.
Розв'язування плоских трикутників
У трикутника загального виду є 6 головних характеристик: 3 лінійні (довжини сторін ) і 3 кутові (). Сторону, протилежну до кута при вершині, прийнято позначати тією ж літерою, що і вершину, але не великою, а малою (див. рисунок). В класичній задачі плоскої тригонометрії задано 3 з цих 6 характеристик, і потрібно визначити 3 інші. Очевидно, якщо відомі лише 2 або 3 кута, однозначного розв'язку не буде, оскільки будь-який трикутник, подібний до даного, також буде розв'язком, тому надалі вважається, що хоча б одна з відомих величин — лінійна.
Алгоритм розв'язування задачі залежить від того, які саме характеристики трикутника вважаються відомими. Надалі задані величини символічно позначаються С (сторона) і К (кут). Оскільки поєднання ККК не розглядається, залишається 5 різних варіантів: Три сторони (ССС); Дві сторони і кут між ними (СКС); Дві сторони і кут навпроти однієї з них (КСС); Сторона і два прилеглих кута (КСК); Сторона, протилежний кут і один з прилеглих (ККС).
Основні теореми Стандартним методом розв'язування задачі є використання декількох фундаментальних співвідношень, що виконуються для всіх плоских трикутників: Теорема косинусів
Теорема синусів
Сума кутів трикутника
Із інших іноді корисних на практиці універсальних співвідношень слід згадати теорему тангенсів, теорему котангенсів і формули Мольвейде.
Зауваження Для знаходження невідомого кута надійніше використовувати теорему косинусів, а не синусів. Причина в тому, що значення синуса кута при вершині трикутника не визначає однозначно самого кута. Наприклад, якщо то кут може бути як , так і , тому що синуси цих кутів рівні. Винятком є випадок, коли заздалегідь відомо, що в даному трикутнику тупих кутів бути не може — наприклад, якщо трикутник прямокутний. З косинусом такі проблеми не виникають, в інтервалі від до значення косинуса визначає кут однозначно. При побудові трикутників важливо пам'ятати, що дзеркальне відбиття побудованого трикутника також буде розв'язком задачі. Наприклад, три сторони однозначно визначають трикутник з точністю до відбиття. Всі трикутники вважаються невиродженими, тобто довжина сторони не може бути нульовою, а величина кута — додатне число, менше, ніж .
Три сторони Нехай задані довжини всіх трьох сторін . Умова розв'язності задачі — виконання нерівності трикутника, тобто кожна довжина повинна бути меншою, ніж сума двох інших довжин:
Щоб знайти кути , потрібно скористатися теоремою косинусів:
Третій кут одразу знаходиться з правила, що сума всіх трьох кутів повинна бути рівна 180°: .
Не рекомендується другий кут знаходити за теоремою синусів, тому що, як вказано у вищенаведеному зауваженні 1, при цьому є небезпека сплутати тупий кут із гострим. Цієї небезпеки не виникне, якщо першим визначити, за теоремою косинусів, найбільший кут, що лежить навпроти найбільшої із сторін — два інших кута точно є гострими, і застосування до них теореми синусів безпечне.
Ще один метод обчислення кутів за відомими сторонами — використання теореми котангенсів.
Дві сторони і кут між ними Нехай, для визначеності, відомі довжини сторін і кут між ними. Цей варіант задачі завжди має єдиний розв'язок. Для визначення довжини сторони знову застосовується теорема косинусів:
Фактично задача зведена до попереднього випадку. Далі ще раз застосовується теорема косинусів для знаходження другого кута:
Третій кут визначається з теореми про суму кутів трикутника: .
Дві сторони і кут напроти однієї з них У цьому випадку можуть існувати два розв'язки, єдиний розв'язок або взагалі не бути розв'язків. Нехай, наприклад, відомі дві сторони і кут . Рівняння для кута знаходиться з теореми синусів:
Для простоти позначимо (права частина рівняння). При розв'язуванні рівняння можливі 4 випадки. Задача не має розв'язку (сторона «не дістає» до лінії BC) у двох випадках: якщо або якщо кут і при цьому Якщо , існує єдиний розв'язок, причому трикутник прямокутний,
Якщо , то можливі 2 варіанти. Якщо , то кут має два можливих значення: гострий кут і тупий кут . На рисунку справа першому значенню відповідає точка , сторона і кут , а другому значенню — точка , сторона і кут . Якщо , то (як відомо, більшій стороні трикутника відповідає більший протилежний кут). Оскільки в трикутнику не може бути двох тупих кутів, тупий кут для виключений, і розв'язок єдиний. Третій кут визначається за формулою . Третю сторону можна знайти за теоремою синусів:
Сторона і два кути Нехай задана сторона і два кути. Ця задача має єдиний розв'язок, якщо сума двох кутів менша . У протилежному випадку задача розв'язку не має.
Спочатку визначається третій кут. Наприклад, якщо задані кути , то . Далі обидві невідомі сторони знаходяться за теоремою синусів:
Розв'язування прямокутних трикутників
У цьому випадку відомий один з кутів — він дорівнює 90°. Необхідно знати ще два елементи, хоча б один з яких — сторона. Можливі наступні випадки: два катети; катет і гіпотенуза; катет і прилеглий гострий кут; катет і протилежний гострий кут; гіпотенуза і гострий кут.
Прийнято позначати вершину прямого кута літерою C, а гіпотенузу — . Катети позначаються і , а величини протилежних до них кутів — α і β відповідно.
Розрахункові формули суттєво спрощуються, оскільки замість теорем синусів і косинусів можна використати простіші співвідношення — теорему Піфагора:
і визначення основних тригонометричних функцій:
Зрозуміло також, що кути α і β — гострі, оскільки їхня сума дорівнює . Тому будь-який з невідомих кутів однозначно визначається за будь-якою з його тригонометричних функцій (синусом, косинусом, тангенсом та ін.) шляхом обчислення відповідної оберненої тригонометричної функції.
При коректній постановці задачі (якщо задані гіпотенуза і катет, то катет повинен бути меншим від гіпотенузи; якщо заданий один з двох непрямих кутів, то він повинен бути гострим) розв'язок завжди існує і єдиний.
Два катети Гіпотенуза знаходиться за теоремою Піфагора:
Кути можна знайти з використанням функції арктангенса:
або ж за тільки що знайденою гіпотенузою:
Катет і гіпотенуза Нехай відомі катет і гіпотенуза , тоді катет знаходиться з теореми Піфагора:
Після цього кути визначаються аналогічно до попереднього випадку.
Катет і прилеглий гострий кут Нехай відомі катет і прилеглий до нього кут α.
Гіпотенуза визначається із співвідношення
Катет можна знайти або за теоремою Піфагора аналогічно до попереднього випадку, або із співвідношення
Гострий кут β можна знайти як
Катет і протилежний гострий кут Нехай відомі катет і протилежний до нього кут β.
Гіпотенузу можна знайти із співвідношення
Катет і другий гострий кут α можна знайти аналогічно до попереднього випадку.
Гіпотенуза і гострий кут Нехай відомі гіпотенуза і гострий кут β.
Гострий кут α можна знайти як
Катети визначаються із співвідношень
Розв'язування сферичних трикутників Сферичний трикутник загального виду повністю визначається трьома з шести своїх характеристик (3 сторони і 3 кута). Сторони сферичного трикутника прийнято вимірювати не лінійними одиницями, а величиною центральних кутів, що спираються на них. Розв'язування трикутників у сферичній геометрії має ряд відмінностей від плоского випадку. Наприклад, сума трьох кутів залежить від трикутника; крім того, на сфері не існує не рівних подібних трикутників, і тому задача побудови трикутника за трьома кутами має єдиний розв'язок. Але базові співвідношення, що використовуються для розв'язування задачі, аналогічні до плоского випадку: сферичні теореми косинусів і сферична теорема синусів.
Із інших співвідношень можуть бути корисними формули аналогії Непера і .
Три сторони Якщо сторони задані (в кутових одиницях), то кути трикутника визначаються з теореми косинусів: , , ,
Дві сторони і кут між ними Нехай задані сторони і кут між ними. Сторона знаходиться за теоремою косинусів:
Кути можна знайти так само, як і в попередньому варіанті, можна також використати формули аналогії Непера:
,
Дві сторони і кут не між ними Нехай задані сторони і кут . Для існування розв'язку необхідним є виконання умов:
Кут отримується з теореми синусів:
Тут, аналогічно до плоского випадку, при отримуються два розв'язки: і .
Інші величини можна знайти з формул аналогії Непера: , .
Сторона і прилеглі кути У цьому варіанті задана сторона і кути . Кут визначається за теоремою косинусів: , Дві невідомі сторони отримуються з формул аналогії Непера:
або, використовуючи обчислений кут , за теоремою косинусів:
Два кута і сторона не між ними Нехай задані сторона і кути . Сторона визначається за теоремою синусів: , Якщо кут для сторони гострий і , існує другий розв'язок:
Інші величини визначаються з формул аналогії Непера: , ,
Три кута Якщо задано три кута, сторони можна знайти за теоремою косинусів: , , . Інший варіант: використання .
Розв'язування прямокутних сферичних трикутників Викладені алгоритми значно спрощуються, якщо відомо, що один з кутів трикутника (наприклад, кут ) прямий. Прямокутний сферичний трикутник повністю визначається двома елементами, інші три знаходяться з допомогою або з наведених нижче співвідношень.
Варіації та узагальнення В багатьох практично важливих задачах замість сторін трикутника задаються інші його характеристики — наприклад, довжина медіани, висоти, бісектриси, радіус вписаного чи описаного кола і т. д. Аналогічно замість кутів при вершинах трикутника в задачі можуть фігурувати інші кути. Алгоритми розв'язування подібних задач найчастіше комбінуються із розглянутих вище теорем тригонометрії.
Приклади: Задача Реґіомонтана: побудувати трикутник, якщо відомі одна його сторона, довжина опущеної на неї висоти і протилежний кут. . Задача : знайти кути трикутника, якщо відома сума двох кутів і відношення протилежних сторін . Задача Ньютона: розв'язати трикутник, якщо відомі одна його сторона, протилежний кут і сума двох інших сторін.
Приклади практичного застосування
Тріангуляція
Для визначення відстані від берега до недоступної точки — наприклад, до віддаленого корабля, — потрібно відмітити на березі дві точки, відстань між якими відома, і виміряти кути і між лінією, що сполучає ці точки, і напрямком на корабель. З формул варіанту «сторона і прилеглі до неї кути» можна знайти довжину висоти трикутника:
Цей метод використовується в каботажному судноплавстві. Кути при цьому оцінюються спостереженнями з корабля відомих орієнтирів на землі. Аналогічна схема використовується в астрономії для визначення відстані до близької зорі: вимірюються кути спостереження цієї зорі з протилежних точок земної орбіти (тобто з інтервалом у півроку) і за їх різницею (паралаксом) обчислюють шукану відстань.
Інший приклад: потрібно виміряти висоту гори або високої будівлі. Відомі кути спостереження вершини з двох точок, розташованих на відстані . З формул того ж варіанту, що і вище, отримується:
Відстань між двома точками на поверхні земної кулі
Потрібно обчислити відстань між двома точками на земній кулі: Точка A: широта довгота Точка B: широта довгота Для сферичного трикутника , де північний полюс, відомі наступні величини:
Цей випадок «дві сторони і кут між ними». З наведених вище формул отримуємо: , де радіус Землі.
Історія
Зачатки тригонометричних знань можна знайти в математичних рукописах Стародавнього Єгипту, Вавилону і Стародавнього Китаю. Головним досягненням цього періоду стало співвідношення, яке пізніше отримало назву теореми Піфагора; Ван дер Варден вважає, що вавилоняни відкрили його між 2000 і 1786 роками до н. е.