Форма Кіллінга — симетрична білінійна форма на алгебрі Лі певного типу.
Визначення Нехай — скінченновимірна алгебра Лі над полем . Кожен елемент з визначає ендоморфізм
де — дужка Лі. Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму
зі значеннями в полі . Ця форма називається формою Кіллінга на .
Властивості Форма Кіллінга є білінійною і симетричною. Білінійність випливає з того, що і, відповідно , а також з того що і для довільних ендоморфізмів A, B, C. Симетричність випливає з того, що для довільних ендоморфізмів A, B. Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто
Де — дужка Лі. З визначень і рівності Якобі одержується рівність Звідси Якщо є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на пропорційна формі Кіллінга. Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто
Де . * Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним. З визначення автоморфізмів алгебр Лі і відповідно З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга. Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою. Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі. Якщо і — два ідеали в алгебрі Лі з нульовим перетином, тоді і утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга. Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом. Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.
Див. також Оператор Казиміра