В рімановій геометрії, зв'язністю Леві-Чивіти називається особлива афінна зв'язність на дотичному розшаруванні (псевдо)ріманового многовиду. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика Тулліо Леві-Чивіти.
Визначення Нехай g — псевдоріманова метрика класу на гладкому многовиді M, тобто сім'я симетричних білінійних невироджених форм gx на дотичних просторах , таких, що для довільних векторних полів X і Y класу , функція g(X,Y) належить до класу . Сигнатура g є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма gx є додатноозначеною в кожній точці x то g називається рімановою метрикою.
Нехай — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів X і Y класу однозначно визначає векторне поле того ж класу, так що для -поля і -функції виконуються умови:
Дана афінна зв'язність називається зв'язністю Леві-Чивіти якщо вона додатково задовольняє умови : є зв'язністю без кручень, тобто її тензор кручення є нульовим: для всіх векторних полів і відповідного класу, ; є паралельною: для всіх векторних полів , і відповідного класу, справедливою є рівність : .
Властивості
Існування і єдиність Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.
Доведення Єдиність : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика g є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів , і , маємо :,,.Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо :Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити :.Зважаючи на невиродженість g, зв'язність є однозначно визначеною у всіх випадках. Існування : Для всіх векторних полів X і Y на M визначимо векторне поле , що є єдиним векторним полем на M, яке задовольняє вище отриману рівність :.Тоді оператор є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій f:. є зв'язністю без кручень:.Нарешті, g є паралельною метрикою для :.Тобто задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.
Властивості збереження зв'язності Нехай M і M' є двома гладкими многовидами розмірності n, на яких задані афінні зв'язності і відповідно. Якщо F: M → M''' ― гладке відображення між ними, то F називається відображенням, що зберігає зв'язності, якщо для диференціалу цього відображення і довільних векторних полів правильною є рівність де позначає диференціал відображення.
Найчастіше це поняття розглядається саме для ріманових многовидів і зв'язностей Леві-Чивіти оскільки вони є визначеними однозначно. Зокрема у цьому випадку, якщо F є конформним відображенням, тобто існує така додатна гладка функція f, що , то F зберігає зв'язності Леві-Чивіти якщо і тільки якщо f є константою. Диференціал конформного відображення є ізоморфізмом у кожній точці, а отже саме відображення є локальним дифеоморфізмом.
Якщо F зберігає зв'язність тоді у будь-якій точці і для довільних векторних полів X і одиничного Y:
Оскільки , то f є константою. Навпаки оскільки диференціал є ізоморфізмом у кожній точці можна визначити оператор
Даний оператор э афінною зв'язністю. Якщо довести, що він є зв'язністю Леві-Чивіти, то твердження випливатиме з єдиності зв'язності Леві-Чивіти. Зв'язність є узгодженою із рімановою метрикою:
Також зв'язність э зв'язністю без кручень оскільки:
Разом ці властивості доводять, що є зв'язністю Леві-Чивіти.
Запис в локальних координатах Розглянемо тепер локальні координати у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах .
Позначимо компоненти метричного тензора g'' в цьому локальному базисі. Визначені властивості зв'язності Леві-Чивіти можна подати через символи Крістоффеля , що визначаються з рівностей :
Символи Крістофеля для :
де є відповідними елементами матриці оберненої до матриці .
Див. також Ріманова геометрія Афінна зв'язність Ріманів многовид
Джерела
Noel Hicks Connexion preserving, conformal, and parallel maps. Mich. Math. J. 10 (1963), 295-302.