Скінченнопородженим модулем над асоціативним кільцем називається такий модуль, який породжується скінченною кількістю своїх елементів. Наприклад, для правого модуля це означає, що існує скінченна множина елементів таких, що будь-який елемент з рівний сумі , де — елементи кільця .
Еквівалентно скінченнопороджені модулі можна визначити такими умовами: Для будь-якої сім'ї підмодулів {Ni | i ∈ I} модуля M, якщо , то для деякої скінченної підмножини F множиниI. Для будь-якої лінійно впорядкованої множини підмодулів {Ni | i ∈ I} вM, якщо , тоді Ni = M для деякого i в I. Якщо є епіморфізмом, тоді для деякої скінченної підмножини F множини I теж є епіморфізмом.
Серед властивостей, тісно пов'язаних з скінченною породженістю — скінченне представлення, скінченна зв'язність і когерентність модуля. Над нетеровим кільцем всі чотири властивості є еквівалентними.
Скінченнопороджені модулі над полем є скінченновимірними векторними просторами.
Приклади Якщо модуль породжується лише одним елементом то він називається циклічним молулем. Якщо R є областю цілісності і K його полем часток то кожен скінченнопороджений R-підмодуль I поля K є дробовим ідеалом: тобто існує елемент r в кільці R такий що rI є підмножиною R. Справді за елемент r можна взяти добуток знаменників всіх генераторів I. Якщо R є нетеровим кільцем, то кожен дробовий ідеал одержується в цей спосіб. Скінченнопородженими модулями над кільцем цілих чисел Z скінченнопороджені абелеві групи. Скінченнопородженими модулями над тілом є скінченновимірні векторні простори над тілом.
Властивості Образ скінченнопородженого модуля при гомоморфізмі також є скінченнопородженим модулем. У загальному випадку, підмодулі скінченнопородженого модуля не обов'язково є скінченнопородженими. Наприклад, розглянемо кільце R = Z[x1, x2...] многочленів від нескінченного числа змінних. Це кільце є скінченнопородженим Z-модуль. Розглянемо його підмодуль (тобто ідеал), що складається з усіх многочленів з нульовим коефіцієнтом при константі. Якби у цього модуля була скінченна породжуюча множина, то кожен одночлен xi мав би міститися в одному з многочленів цієї множини, що неможливо.
Модуль називається нетеровим, якщо будь-який його підмодуль є скінченнопородженим. Більш того, модуль над нетеровим кільцем є скінченнопородженим тоді і тільки тоді, коли він є нетеровим.
Нехай 0 → M′ → M → M′′ → 0 — точна послідовність модулів. Якщо M′ и M′′ тут скінченно породжені, то і M є скінченнопородженим. Вірні і деякі твердження, частково обернені до даного. Якщо M є скінченнопородженим і M' скінченнопредставленим (це більш сильне умова, ніж скінченнопородженість), то M′ є скінченнопородженим.
В комутативній алгебрі існує певний зв'язок між скінченною породженістю і цілими елементами. Комутативна алгебра A над R називається скінченнопородженою над R, якщо існує скінченна множина її елементів, така, що A є найменшим підкільцем A, що містить R і ці елементи. Це більш слабка умова, ніж скінченнопородженість: наприклад, алгебра многочленів R[x] — скінченнопороджена алгебра, але не скінченнопороджений модуль. Наступні твердження еквівалентні : A — скінченнопороджений модуль; A — скінченнопороджена алгебра, що є цілим розширенням R.
Скінченнопредставлені, скінченнопов'язані і когерентні модулі Властивість скінченної породженості можна сформулювати так: скінченнопороджений модуль M — це модуль, для якого існує епіморфізм f : Rk → M.
Розглянемо тепер епіморфізм φ : F → M з вільного модуля F в M.
Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим, M називається скінченнопов'язаним модулем. Оскільки M є ізоморфним F/ker(φ), цю властивість можна виразити наступними словами: M одержується з вільного модуля додаванням скінченної кількості співвідношень. Якщо ядро епіморфізма φ є скінченнопородженим і ранг модуля F є скінченним, M називається скінченнопредставленим модулем. Тут у M є скінченна кількість генераторів (образи генераторів F) і скінченна кількість (генераторів ker(φ)). Когерентний модуль''' — це скінченнопороджений модуль, все скінченнопороджені підмодулі якого є скінченнопредставленими.
Якщо основне кільце R нетеровим, всі чотири умови еквівалентні.
Хоча умова когерентності здається більш «громіздкою», ніж умови скінченної пов'язаності і представленості, вона також є важливою, тому що категорія когерентних модулів є абелевою, на відміну від категорії скінченнопороджених або скінченнопредставлених модулів.
Примітки
Джерела
Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7''. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
.