Плюрігармонічна функція — два рази неперервно диференційовна, функція комплексних змінних , така що для будь-якої комплексної прямої функція

є гармонічною на множині

.

Аналогічним означення є і для функцій кількох комплексних змінних зі значенням у множині дійсних чисел.

Для дійснозначних функцій також можна дати еквівалентне означення через часткові похідні. Нехай така функція і — запис комплексних змінних через їх дійсні й уявні складові. Функція є плюрісубгармонічною тоді і тільки тоді, коли вона має неперервні часткові похідні по змінних до другого порядку включно і задовольняє систему рівнянь:

де

Позначаючи, як звично:

дану систему можна записати у більш зручному виді:

Комплекснозначна функція буде плюрігармонічною тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини задовольнятимуть рівнянням вище.

Властивості Кожна плюрігармонічна функція є гармонічною функцією. У випадку функцій однієї комплексної змінної правильним є і обернене твердження. Натомість для функцій більш ніж однієї змінної обернене твердження є неправильним. Наприклад дійснозначна функція є гармонічною в ⁣, але вона не є плюрігармонічною оскільки, наприклад, на прямій її значення рівні і не є гармонічною функцією. Плюрігармонічні функції кількох комплексних змінних також є правильним підкласом кратногармонічних функцій. Також плюрігармонічні функції є правильним підкласом плюрісубгармонічних функцій, що для є правильним підкласом субгармонічних функцій. Важливість плюрігармонічних функцій у комплексному аналізі кількох змінних пояснюється тим, що для голоморфної функції декількох комплексних змінних її дійсна (і уявна) частини є плюрігармонічними функціями. Плюрігармонічні функції, що є дійсною і уявною частинами голоморфної функції називаються спряженими. Навпаки, якщо дано плюрігармонічну функцію в однозв'язному околі V точки , то в цьому околі існує голоморфна функція , дійсна частина якої дорівнює . Завдання визначення цієї голоморфної функції зводиться до знаходження спряженої плюрігармонічної функції за формулою

Див. також Гармонічна функція Плюрісубгармонічна функція Субгармонічна функція

Література . .