Когерентними станами в квантовій механіці називають певні стани квантового гармонічного осцилятора, динаміка яких найближча до коливань класичного осцилятора. Першим із ними зустрівся Ервін Шредінгер у 1926 році, шукаючи розв'язки рівняння Шредінгера, що задовольняли б принципу відповідностіE. Schrödinger, Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik, Naturwissenschaften 14 (1926) 664-666.. Модель квантового осцилятора, а отже когерентні стани, фігурують в описі широкого класу фізичних системJ.R. Klauder and B. Skagerstam, Coherent States, World Scientific, Singapore, 1985.. Наприклад, когерентний стан описує коливання частинки в квадратичному потенціалі.
Ці стани, які першим запровадив Джон КлаудерJ. R. Klauder, The action option and a Feynman quantization of spinor fields in terms of ordinary c-numbers, Ann. Physics 11 (1960) 123–168., є власними векторами оператора пониження й утворюють надповний базис. У квантову теорію світла (квантову електродинаміку) та теорію інших бозонних квантових полів когерентні стани увійшли завдяки роботі 1963 року Роя Глаубера. Когерентний стан описує стан системи, в якій хвильовий пакет основного стану зміщено з початку системи координат. Його можна асоціювати з класичним розв'язком коливань частинки з амплітудою, еквівалентною зміщенню.
Концепцію когерентних станів було узагальнено, що перевело її на новий рівень абстракції. Вона стала важливою темою досліджень математичної фізики та прикладної математики. Її застосовують для розв'язання широкого кола задач: від квантування до обробки сигналів та зображень. Тому когерентні стани власне гармонічного осцилятора іноді називають канонічними, стандартними, гаусовими або осциляторними.
У квантовій оптиці
У квантовій оптиці когерентним станом називають стан квантованого електромагнітного поляW-M. Zhang, D. H. Feng, and R. Gilmore, Coherent states: Theory and some applications, Rev. Mod. Phys. 62 (1990) 867-927.J-P. Gazeau, Coherent States in Quantum Physics, Wiley-VCH, Berlin, 2009., який найкраще описує когерентність та має поведінку схожу на класичну. Ервін Шредінгер 1926 року, намагаючись відшукати розв'язок рівняння Шредінгера, що задовольняв би принцип відповідності, вивів його як стан із найменшою невизначеністю гаусового хвильового пакету. Це стан найменшої невизначеності, єдиний параметр якого вибирається так, що зробити дисперсію (в натуральних безрозмірнісних одиницях стандартне відхилення) положення та імпульсу однаковими. При високій енергії обидві дисперсії однаково малі.
Далі, на відміну від власних станів енергії системи, еволюція когерентного стану зосереджена вздовж класичної траєкторії. Лінійний квантовий осцилятор, а отже, когерентні стани з'являються у широкому колі фізичних систем: в квантовій теорії світла та теорії інших бозонних квантових полів.
Тоді як гаусів хвильовий пакет із мінімальною невизначеністю був доволі відомим, на нього не звертали особливої уваги до того, як Рой Глаубер 1963 року не дав повного квантовотеоретичного опису когерентності електромагнітного поляR.J. Glauber, Coherent and incoherent states of radiation field,Phys. Rev. 131 (1963) 2766-2788.. У цьому відношенні не слід забувати паралельного внеску СударшанаE.C.G. Sudarshan, Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 277-279. (у статті Глаубера є примітка, де написано: "Використання цих станів як генераторів для станів квантів належить Джуліану ШвінгеруJ. Schwinger, Theory of quantized fields. III, Phys. Rev. 91 (1953) 728-740). Глауберу потрібно було описати ефект Генбері-Брауна та Твісса, який дозволяє утворення інтерференційних картин із дуже широкою базою (сотні та тисячі кілометрів), які можна використати для визначення діаметрів зір. Одночасно відкрився шлях до глибшого розуміння когерентності.
Класична оптика описує світло як електромагнітні хвилі, що випромінюються джерелом. Когерентні лазери часто описують як світло, випромінене з багатьох джерел, що коливаються в фазі. Власне, в квантовій теорії говорити, що фотон перебуває в фазі з іншим, не зовсім правильно. Випромінювання лазера відбувається в резонаторі, власна частота якого дорівнює частоті електронного переходу в атомі, який постачає полю енергію. Енергія резонансної моди наростає, імовірність вимушеного випромінювання в цій моді зростає. Це створює додатний обернений зв'язок, завдяки якому амплітуда резонантної моди експоненціально росте до межі, визначеної якимось нелінійним ефектом. З іншого боку, випромінювання світла лампочкою відбувається в неперервний спектр мод, і немає жодного фактора, що міг би виділити одну моду серед інших. Тому випромінювання дуже випадкове в просторі й часі. А от у лазері, випромінювання відбувається в резонантну моду, яка має високий ступінь когерентності.
Власні енергетичні стани гармонічного осцилятора (наприклад, маси за пружинці, коливань кристалічної ґратки в твердому тілі, коливань електромагнітного поля) є станами з фіксованими числами. Стан Фока (наприклад, одиничний фотон) є найбільш корпускулярним: число частинок відоме точно, а фаза зовсім не визначена. У когерентному стані квантова невизначеність розподілена порівну між канонічно спряженими координатами: положенням та імпульсом, і відносні невизначеності фази та амплітуди приблизно однакові й малі при великих значеннях амплітуди.
Квантовомеханічне означення Математично когерентний стан визначається як єдиний власний стан оператора знищення , асоційований з власним значенням . Формально:
Оскільки не є ермітовим оператором, — загалом комплексне число. Записуючи || та називають амплітудою та фазою стану .
Фізично ця формула означає, що когерентний стан не змінюється, якщо вилучити одне збудження поля, або, іншими словами, частинки. Власне значення оператора знищення, виражене через власні значення оператора енергії, має пуассонів розподіл. Розподіл Пуассона є необхідною та достатньою умовою того, щоб всі вимірювання були статистично незалежними. Для порівняння — в одночастинкових станах (стан Фока ): якщо частинку детектовано, то імовірність детектувати іншу дорівнює нулю.
Доведення використовує безрозмірнісні оператори, та , які зазвичай називають у квантовій оптиці польовими квадратурами. Ці оператори зв'язані з операторами положення та імпульсу матеріальної точки з масою на пружинці жорсткості , де
Для оптичного поля та є дійсною та уявною частинами моди електричного поля.
Через ці безрозмірнісні оператори гамільтоніан системи записується де
Коли Ервін Шредінгер запровадив гаусові хвильові пакети з мінімальною невизначеністю, він шукав стани, що були б найбільше схожі на класичні. Квантовий стан гармонічного осцилятора, що мінімізує співвідношення невизначеності, в якому невизначеність була б рівно розподіленою між та , задовольняє рівняння
або еквівалентно
а тому
Отже, якщо , Шредінгер виявив, що стан гармонічного осцилятора із найменшою невизначеністю є власним станом . Оскільки â є , саме цей стан і є когерентним станом.
Використовуючи позначення багатофотонних станів, Глаубер визначив, що всі стани з повною когерентністю будь-якого порядку є власними станами оператора знищення — формально в математичному сенсі це саме той стан, який знайшов Шредінгер. Назва когерентний стан увійшла в ужиток після роботи Глаубера.
Якщо невизначеність мінімальна, але не обов'язково рівно розподілена між та , стан називають стисненим когерентним станом.
Положення когерентного стану на комплексній площині (фазовому прострі) центроване на значенні положення та імпульсу класичного осцилятора з фазою та амплітудою |α|, що визначаються власним значенням α (або тим самим значенням електричного поля, що й для електромагнітної хвилі). Як показано на рис. 5, невизначеність, рівно розподілена в усіх напрямках, представлена диском із діаметром . При зміні фази когерентний стан обертається навколо початку системи координат, а диск не спотворюється і не розпливається. Це виглядає майже так, наче квантовий стан — точка в фазовому просторі.
Оскільки невизначеність (а отже шум при вимірюваннях) залишається сталою зі значенням при зростанні амплітуди коливань, стан дедалі більше нагадує синусоїдальну хвилю, показану на рис. 1. А, оскільки вакуумний стан є когерентним станом з =0, усі когерентні стани мають однакову з вакуумом невизначеність. Тому квантовий шум можна трактувати як зумовлений флуктуаціями вакууму.
Позначення не є станом Фока. Наприклад, коли =1, це не слід плутати з для однофотонного стану Фока, який теж позначають . Вираз з =1 є насправді пуассоновим розподілом багатьох станів з одиничним середнім значенням кількості фотонів.
Формальний розв'язок рівняння на власні значення є вакуумним станом, зміщеним на у фазовому просторі, тобто, його можна отримати дією унітарного оператора зміщення на вакуум , де , а .
У цьому легко переконатися, як практично в усіх результатах з когерентними станами, використовуючи представлення когерентних станів у базисі станів Фока
де |n〉 — власні вектори енергії (числа частинок) гамільтоніана
Для відповідного розподілу Пуассона імовірність детектування фотонів дорівнює
Аналогічно, середнє число фотонів у когерентному стані дорівнює
а дисперсія: .
Тобто, стандартне відхилення числа детектованих частинок збільшується пропорційно квадратному кореню їхнього числа. Тому в граничному випадку великих α, детектування еквівалентні тому, що спостерігається для стабільної класичної хвилі.
Ці результати застосовні до детектувань одного детектора, а тому стосуються когерентності першого порядку. Однак, кореляції відліків кількох детекторів вимагають когерентності вищих порядків (наприклад, два детектори вимагають кореляції інтенсивності та когерентності другого порядку). Квантова когерентність, визначена за Глаубером, має справу з кореляціями n-го порядку (n-тий ступінь когерентності) для всіх . Кореляції усіх порядків досконало когерентного стану дорівнюють 1.
Робота Глаубера побачила світ в зв'язку з результатами Генбері-Брауна та Твісса, що продемонстрували далеку (сотні й тисячі кілометрів) інтерференцію першого порядку, використовуючи флуктуації інтенсивності (відсутність когеренції другого порядку) та фільтр з вузькою смугою пропускання (часткова когерентність першого порядку в кожному з детекторів. (Можна уявити дуже короткоплинну, майже миттєву інтерференційну картину на двох детекторах, що виникає завдяки вузьким фільтрам і випадково стрибає через зсув відносної різниці фаз. При використанні лічильника збігів нестійка інтеренференційна картина проявляється сильніше під час зростання інтенсивності [спільне для обох фаз], і ця картина перекриватиме фоновий шум.) Майже вся оптика мала справу з когерентністю першого порядку. Результати Генбері-Брауна та Твісса змусили Глаубера розглянути когерентність вищих порядків, і він знайшов квантовомеханічний опис когерентності електромагнітного поля будь-якого порядку (і квантово теоретичний опис відношення сигналу плюс шуму). Він запропонував назву когерентний стан і показав, що ці стани виникають, коли класичний електричний струм взаємодіє з електромагнітним полем.
При , виходячи з рис. 5, прості геометричні міркування дають Δθ |α | = 1/2. Виглядає, що виграш у невизначеності числа частинок спряжений з програшем у невизначеності фази, Δθ Δn = 1/2, що іноді інтерпретують як співвідношення невизначеності число-фаза; але таке співвідношення не є математично строгим: у квантовій механіці немає однозначно визначеного оператора фазиL. Susskind and J. Glogower, Quantum mechanical phase and time operator,Physics 1 (1963) 49. P. Carruthers and M.N. Nieto, Phase and angle variables in quantum mechanics,Rev. Mod. Phys. 40 (1968) 411-440. S.M. Barnett and D.T. Pegg, On the Hermitian optical phase operator,J. Mod. Opt. 36 (1989) 7-19. P. Busch, M. Grabowski and P.J. Lahti, Who is afraid of POV measures? Unified approach to quantum phase observables, Ann. Phys. (N.Y.) 237 (1995) 1-11.