Альфа-форма або α-форма в обчислювальній геометрії — це сімейство кусково-лінійних кривих Евклідової площини, пов'язаних зі скінченною множиною точок. Вперше визначення ввели Едельсбруннер, Кіркпатрік та Зейдель у 1983 році. Альфа-форма, що пов'язана з множиною точок, є узагальненням поняття опуклості, тобто кожна опукла оболонка є альфа-формою, але не кожна альфа-форма є опуклою оболонкою.
Інтуїтивно про α-форму можна думати так. Уявити величезну масу морозива, що створює і містить точки у вигляді твердих шматочків шоколаду. Використовуючи ложку для морозива сферичної форми ми видобуваємо все можливе морозиво з блоку, без натикання на шоколадні шматки, навіть утворюючи порожнини всередині (наприклад, частини недосяжні ззовні). Якщо після закінчення ми вирівняємо всі округлі грані в трикутники і відрізки ліній, ми отримаємо інтуїтивний опис того, що називається α-формою .
Характеристика Для кожного цілого числа α, визначити поняття узагальненого диску радіуса 1/α наступним чином: 1)Якщо α = 0, це замкнена напівплощина; 2)Якщо α > 0, це замкнений диск радіуса 1/α; 3)Якщо α < 0, це закрите додавання диска радіуса −1/α. Ребро альфа-форми змальовується між двома членами набору кінцевих точок тоді , коли існує узагальнений диск з радіусом 1 / α , який містить весь набір точок і який має властивість: обидві точки лежать на його межі.
Якщо α =0, то альфа-форма, пов'язана з заданою кінцевою точкою, є опуклою оболонкою.
Альфа-комплекс Альфа-форми тісно пов'язані з альфа-комплексами, підкомплексами тріангуляції Делоне. Кожне ребро або трикутник тріангуляції Делоне може бути пов'язаний з характерним радіусом найменшого кола, що містить це ребро або трикутник. Для кожного дійсного числа α, α-комплекс даного набору точок це симплікативна оболонка, утворена набором ребер трикутників, радіуси яких не більше 1/ α.
Об'єднання ребер трикутників у «α»-комплекс утворює форму, яка дуже нагадує «α»-форму; однак вона відрізняється тим, що має полігональні ребра. Зокрема, Едельсбруннер в 1995 показав, що ці обидві форми — гомотопно еквівалентні. (У цій пізнішій роботі Едельсбруннер використовував назву «α — форма», щоб нагадати про об'єднання частин у «α»-комплекс. Також він називає пов'язану криволінійну форму «α» — тілом.)
Приклади
Цей метод може бути використаний для реконструкції поверхні Фермі з електронно-спектральної функції Блоха, що оцінюється на рівні рівняння Фермі, отриманої під час досліджень Гріна в загальному вивченні проблеми. Поверхня Фермі визначається як сукупність взаємних пропускних точок в першій зоні Бріллюена, де сигнал є найбільшим. Визначення може пояснити також випадки різних форм безпорядку.
Див. також Бета-кістяк
Примітки
Джерела N. Akkiraju, H. Edelsbrunner, M. Facello, P. Fu, E. P. Mucke, and C. Varela. «Alpha shapes: definition and software». In Proc. Internat. Comput. Geom. Software Workshop 1995, Minneapolis.
Посилання
2D Alpha Shapes and 3D Alpha Shapes in CGAL the Computational Geometry Algorithms Library Alpha Complex in the GUDHI library. Description and implementation by Duke University Everything You Always Wanted to Know About Alpha Shapes But Were Afraid to Ask — with illustrations and interactive demonstration Implementation of the 3D alpha-shape for the reconstruction of 3D sets from a point cloud in R Description of the implementation details for alpha shapes — lecture providing a description of the formal and intuitive aspects of alpha shape implementation Alpha Hulls, Shapes, and Weighted things — lecture slides by Robert Pless at the Washington University