В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток.

Приклади Багато важливих областей цілісності є цілозамкнутими: Будь-яка область головних ідеалів (зокрема, будь-яка поле). Будь-яке факторіальне кільце (і, як наслідок, будь-яке кільце многочленів над факторіальним кільцем): Нехай Q — поле часток факторіального кільця A i елемент  — цілий над A : де . Припустимо, що a i b не мають спільних дільників (за винятком оборотних елементів). Але , отже, ділиться на b, що можливо лише якщо b є оборотним. Тому, , і звідси . Будь-яка область найбільших спільних дільників (зокрема, кільце Безу чи кільце нормування). Будь-яке кільце Дедекінда є цілозамкнутою областю. Довільна симетрична алгебра над полем (оскільки кожна симетрична алгебра є ізоморфною кільцю многочленів від кількох змінних над полем). Регулярні локальні кільця є цілозамкнутими. Приклад області цілісності, що не є цілозамкнутою: нехай k — поле і (A є підалгебра породжена t2 і t3.) A і B мають однакове поле часток, і B є цілим замиканням кільця A (B є факторіальним кільцем) і тому, область A не є цілозамкнутою. Цей приклад пов'язаний з фактом, що плоска крива має особливу точку на початку координат.

Властивості Нехай A — цілозамкнута область. Для довільної мультиплікативної системи локалізація є цілозамкнутою областю. Ототожнимо з підкільцем поля часток . Припустимо, що є цілим над , тобто де (тут очевидно, для всіх можна вибрати спільний знаменник). Тоді звідки i Для область цілісності A наступні умови є еквівалентними: A є цілозамкнутою; Ap (локалізація A за простим ідеалом p) є цілозамкнутою для кожного простого ідеалу p; Am є цілозамкнутою для кожного максимального ідеалу m. Те що локалізації за максимальними і простими ідеалами є областями цілісності є наслідком попередньої властивості. Залишається лише довести, що якщо всі локалізації A за максимальними ідеалами є цілозамкнутими, то і A є цілозамкнутою. Нехай елемент є цілим над A. Тоді він є цілим над всіма Am для всіх максимальних ідеалів, звідки . Тож залишається довести, що для довільної області цілісності . Нехай . Покладемо . Ця множина є ідеалом в A і для кожного максимального ідеала m в кільці A оскільки може бути записаним як де , звідки . Тому, , отже, i . Натомість цілозамкнутість може не зберігатися при переході до факторкільця, наприклад кільце Z[t]/(t2+4) не є цілозамкнутим. Область цілісності є цілозамкнутою якщо і тільки якщо вона рівна перетину всіх кілець нормування, що містять їїRobert B. Ash, A Course In Commutative Algebra. Ch 3 Valuation Rings , ст. 4.. Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і нехай L — скінченне розширення поля Q. Тоді елемент є цілим над A, якщо і тільки якщо його мінімальний многочлен над Q має коефіцієнти у полі A.Matsumura, теорема 9.2 Звідси випливає зокрема, що цілий елемент над цілозамкнутою областю A має мінімальний многочлен над A. Це твердження є сильнішим, ніж те, що будь-яка цілий елемент є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 і може бути неправильним без вимоги цілозамкнутості (наприклад для кільця ): Розглянемо розширення , таке що для деяких . Оскільки є незвідним, i цей ізоморфізм є тотожним на . Отже, кожен елемент є також цілим над A. Але коефіцієнти є многочленами від з цілими коефіцієнтами (елементарними симетричними многочленами), отже, вони також цілі над A. Оскільки A є цілозамкнутою областю, то всі ці коефіцієнти належать A. Для цілозамкнутої області A з полем часток Q справедливою є версія леми Гауса: нехай  — многочлен, старший коефіцієнт якого рівний 1. Нехай також де і старший коефіцієнт рівний 1. Тоді Достатньо довести це твердження для незвідного g. Розглянемо будь-який його корінь a в деякому розширенні поля Q. Оскільки , то a є цілим над A. Але (оскільки g є незвідним), отже, згідно попередньої властивості, . Якщо A — цілозамкнута область то кільце многочленів теж буде цілозамкнутою областю. Нехай є цілим елементом над . Тоді він очевидно є також цілим над . Але є кільцем головних ідеалів і тому цілозамкнутим. Тож . Залишається довести, що для цілозамкнутої області кільце є цілозамкнутим у . Припустимо, що є цілим елементом над тобто , для деяких . Нехай — ціле число більше, ніж степінь і всі степені . Позначимо . Якщо позначити , то є коренем многочлена . Зауважимо що і має старший коефіцієнт рівний 1. Оскільки і і мають старші коефіцієнти 1, то з леми Гауса отримуємо, що коефіцієнти многочлена належать A і теж саме є правильним для многочлена , що завершує доведення. Індуктивна границя цілозамкнутих областей є цілозамкнутою областю. Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L є нормальним розширенням поля Q з групою Галуа G = G(L/ Q). Нехай також S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді (i) G є групою A-автоморфізмів кільця S. (ii) Прості ідеали P' and P'' кільця S лежать над спільним простим ідеалом P' кільця R (тобто ) тоді і тільки тоді, коли існує Теорема про спуск. Нехай A — цілозамкнута область і S — область цілісності, що є цілим розширенням A. Нехай  — спадна послідовність простих ідеалів кільця A і P'1 — простий ідеал кільця S, для якого . Тоді існує спадна послідовність простих ідеалів кільця S, для яких . Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Нехай S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді існує базис поля L над Q, для якого . Якщо A є кільцем головних ідеалів, то можна вибрати такий базис щоб в цій формулі виконувалася рівність.

Нетерова цілозамкнута область

Нехай A є нетеровою областю цілісності. Тоді A є цілозамкнутою, якщо і тільки якщо виконуються умови: A є перетином всіх локалізацій за простими ідеалами висоти 1 і локалізації за простими ідеалами висоти 1 є кільцями дискретного нормування.

Для нетерової локальної області A розмірності один, тоді еквівалентними є твердження: A є цілозамкнутою. максимальний ідеал of A є головним. A є кільце дискретного нормування (еквівалентно A є кільцем Дедекінда.) A є регулярним локальним кільцем.

Нетерова область цілісності є кільцем Круля тоді і тільки тоді, коли вона є цілозамкнутою.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Ціле замиканням області A в полі L є кільцем Нетер.

Якщо A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A, то для довільного простого ідеала кільця A, якщо  — мінімальний простий ідеал кільця S, що містить тоді Зокрема для цього випадку теорема спуску виконується без додаткових умов.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A. Тоді для довільного ідеала кільця S виконується рівність , де позначає висоту ідеала.

Нормальні кільця

Нормальним кільцем називається кільце, для якого всі локалізації за простими ідеалами є цілозамкнутими областями. Таке кільце є редукованим, тобто не містить нільпотентних елементів крім 0,Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими (наприклад областями цілісності), то R теж є редукованим. Доведення: Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем.. Якщо A є нетеровим кільцем, для якого всі локалізації за максимальними ідеалами є областями цілісності, то A є скінченним добутком областей цілісності.Kaplansky, теорема 168, pg 119. Зокрема, якщо A є нетеровим нормальним кільцем, то воно є скінченним добутком цілозамкнутих областей.Matsumura 1989, p. 64 Навпаки, скінченний добуток цілозамкнутих областей є нормальним кільцем.

Нехай A — нетерове кільце. Критерій Серра стверджує, що A є нормальним, якщо і тільки якщо воно задовольняє такі умови: для будь-якого простого ідеала , (i) якщо має висоту , то є регулярним локальним кільцем (тобто, є кільце дискретного нормування.) (ii) якщо має висоту , то має глибину .Matsumura, Commutative algebra, pg. 125.

Цілком цілозамкнуті області Нехай A — область і K її поле часток. Елемент називається майже цілим над A якщо підкільце A[x] кільця K породжене A і x є дробовим ідеалом кільця A; тобто, якщо існує , для якого для всіх . Область A називається цілком цілозамкнутою якщо всі майже цілі елементи поля K належать A. Цілком цілозамкнута область є цілозамкнутою. Навпаки, нетерова цілозамкнута область є цілком цілозамкнутою.

Припустимо, що область A є цілком цілозамкнутою. Тоді кільце формальних степеневих рядів є цілком цілозамкнутим. Аналог цього твердження для цілозамкнутих областей є невірним: якщо R є кільцем нормування висоти не менше 2 (це кільце є цілозамкнутим), то не є цілозамкнутимMatsumura, Exercise 10.4 Нехай L — розширення поля K. Тоді ціле замикання кільця A в L є цілком цілозамкнутим.

Область цілісності є цілком цілозамкнутою, якщо і тільки якщо моноїд дивізорів A є групою.

Локалізація цілком цілозамкнутого кільця може не бути цілком цілозамкнутою.

Див. також Кільце нормування Факторіальне кільце

Примітки

Література