У статистиці відстань Кука є загальноприйнятою оцінкою впливу спостереження під час застосування методу найменших квадратів у регресійному аналізі. На практиці, при застосуванні методу найменших квадратів, відстань Кука може використовуватися для наступних цілей: визначити впливові спостереження даних, які потрібно перевірити на валідність; визначення областей простору, у яких непогано було б отримати більше результатів спостереження. Відстань названа на честь американського статистика , який у 1977 році запропонував дану концепцію.

Означення

Дані з великими значеннями залишків (викиди) та/або великими значеннями важелів можуть спотворювати результати й точність регресійної моделі. Відстань Кука вимірює ефект видалення даного спостереження з вибірки. Вважається, що для спостережень з великою відстанню Кука доцільно проводити більш глибокий аналіз.

Для алгебраїчного представлення спочатку визначимо:

де  — похибки регресії, — параметри регресії,  — матриця регресорів із одиничним першим стовпчиком. Тоді оцінка коефіцієнтів регресії методом найменших квадратів  має представлення , а отже, відповідно, прогнозовані значення для  обчислюються за формулою:

де — проєкційна матриця. Причому -тий діагональний елемент матриці , що обчислюється як , називається важелем -го спостереження. Аналогічно, -тий елемент вектора залишків має вигляд і позначається як .

Відстань Кука спостереження визначається як сума всіх змін у регресійній моделі, у разі видалення -го спостереження

де  — прогноз відгука, отриманий вилученням -го спостереження,

де  — середньоквадратична похибка регресійної моделі.

Аналогічно, відстань Кука можна виразити через важелі

Визначення спостережень із великим впливом

Існують різні припущення щодо того, які межі використовувати для виявлення точок із великим впливом. Пропонується, у разі вважати спостереження впливовим. Також, іноді використовується припущення, що слід враховувати , де  - кількість спостережень.

Інтерпретація

Зокрема,  можна інтерпретувати як відстань, яку проходить оцінка, в межах довірчого еліпсоїда, що є областю вірогідних значень параметра. Це показується за допомогою альтернативного, проте еквівалентного зображення відстані Кука в термінах зміни оцінки параметра у випадку включення та виключення конкретного спотсереження з регресіного аналізу.

Посилання

Література