Квадратна матриця з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується
Якщо виконується то матриця називається ортогонально-проєкційною.
Проєкційні матриці називаються ортогональними, якщо
З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.
Властивості Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:
Якщо матриця є проєкційною, то матриці теж будуть проєкційними. Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то матриці теж будуть ортогонально-проєкційними. Якщо матриця є ортогонально-проєкційною, то
Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах. Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.
Ортогональні проєктори на підпростір Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця
Довільна прямокутна матриця вводить дві ортогонально-проєкційні матриці: — проєктор в просторі на підпростір векторів-рядків матриці — проєктор в просторі на підпростір векторів-стовпців матриці
Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:
Для ще використовують позначення та відповідно. — псевдообернена матриця до матриці A.
Приклади Одинична матриця є проєктивною.
Застосування Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера. Застосовується при сингулярному розкладі матриці.
Див. також Теорія матриць Спектральна теорема Проєкції
Джерела