Відкрите відображення — відображення одного топологічного простору на інший, при якому образ будь-якої відкритої множини є відкритою множиною. У загальній топології відкрите відображення застосовуються при класифікації просторів.
Означення Відображення з топологічного простору у топологічний простір називається відкритим, якщо образ будь-якої відкритої підмножини з є відкритою підмножиною у просторі .
Пов'язаним є поняття відносно відкритого відображення, яке іноді теж називають просто відкритими відображеннями. Відображення з топологічного простору у топологічний простір називається відносно відкритим, якщо образ будь-якої відкритої підмножини з є відкритою підмножиною у образі всього простору .
Очевидно, що відкрите відображення є відносно відкритою але не навпаки. Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли воно є відносно відкритим і є відкритою підмножиною у просторі .
Властивості Неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли воно є відкритим. Композиція відкритих відображень є відкритим відображенням. Відображення є відкритим тоді і тільки тоді, коли для кожної точки і кожного околу точки в образ відображення є околом точки у просторі . Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли Категорна сума і добуток відкритих відображень є відкритими відображеннями. Образом простору, що задовольняє другу аксіому зліченності при відкритому неперервному сюр'єктивному відображенні є простір, що теж задовольняє другу аксіому зліченності. Образами метричних просторів при неперервних відкритих відображеннях є простори з першою аксіомою зліченності і тільки вони. Метризовний простір, що є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, є метризовним повною метрикою. Якщо паракомпактний простір є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, то він є метризовним. При неперервному відкритому відображенні компактного простору, якщо прообраз довільної точки образу є зліченним, розмірність образу відображення не перевищує розмірності простору. Натомість кожен компакт є образом деякого одновимірного компакта при неперервному відкритому відображенні з нульвимірними прообразами точок. Тривимірний куб можна неперервно і відкрито відобразити на куб будь-якої більшої розмірності.
Приклади Якщо топологічний простір є дискретним, то будь-яке відображення топологічних просторів є відкритим. Проєкція добутку топологічних просторів на множники є відкритими відображеннями. Функція на дійсній прямій зі стандартною топологією є неперервною й замкнутою, але не є відкритою. Натомість вона є відносно відкритою. Прикладом неперервного відображення, що не є відносно відкритим є відображення, що для деякого ірраціонального числа задається як Його можна розглядати як відображення . Образ відображення при цьому не є відкритою підмножиною у . Поставимо у відповідність кожній точці одиничного кола її кутовий коефіцієнт. Задане таким чином відображення є замкнутим, відкритим бієктивним відображенням, яке не є неперервним. Іншим прикладом замкнутого й відкритого відображення, що не є неперервним, є ціла частина числа, як відображення з множини дійсних чисел зі стандартною топологією на множину цілих чисел із дискретною топологією. У функціональному аналізі неперервний сюр'єктивний лінійний оператор між просторами Банаха є неперервним відображенням. У комплексному аналізі, згідно принципу збереження області голоморфна функція на зв'язаній відкритій підмножині комплексної площини (чи, більш загально, скінченновимірного комплексного векторного простору) є відкритим відображенням. В диференціальній геометрії згідно теореми про обернене відображення, що неперервно диференційовна функція між евклідовими просторами, матриця Якобі якої є невиродженою в даній точці, є відкритим відображенням в деякому околі цієї точки. Узагальнено: якщо відображення між диференційовними многовидами є субмерсією, тобто диференціал є сюр'єктивним у кожній точці , то є відкритим відображенням. Неперервне й локально ін'єктивне відображення між двома n-вимірними топологічними многовидами є відкритим. Проєкції у локально тривіальних розшаруваннях і накриття завжди є відкритими відображеннями. Відповідно до теореми про інваріантність відкритих множин у евклідовому просторі для кожної відкритої підмножини та кожного ін'єктивного неперервного відображення образ відображення є відкритою підмножиною , а є гомеоморфізмом між і зокрема відкритим відображенням. Якщо G є топологічною групою і H її підгрупою то відображення на факторпростір є відкритим.
Див. також Замкнуте відображення Неперервне відображення
Джерела
Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5