В комплексному аналізі теорема Блоха стверджує, що для кожної функції голоморфної в одиничному крузі, що задовольняє деякі додаткові вимоги в образі функції міститься круг деякого незалежного від функції радіуса, на якому існує обернена голоморфна функція.

Твердження Нехай — голоморфна функція в деякій області, що містить одиничний круг . Припустимо що . Тоді існує круг , на якому дана функція є ін'єктивною і образ містить круг радіуса більшого, ніж . Зокрема обернена функція на цьому крузі буде біголоморфізмом.

З цього твердження легко одержується узагальнення: якщо — область у , — голоморфна функція і для деякої точки . Тоді містить відкрите кого радіуса , де , на якому існує обернена біголоморфна функція.

Теорема Ландау Якщо є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю , тоді образ містить круг радіуса , де є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.

Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.

Теорема Валірона Історично значний вплив на формулювання теореми Блоха відіграла теорема Валірона:

Якщо є цілою функцією, тоді існують круги довільного радіуса і голоморфні в D функції , такі що для всіх .

Доведення

Лема 1 Розглянемо функцію , голоморфну у крузі , причому . Нехай і . Тоді і .

Доведення Ввівши функцію , отримаємо, що є голоморфною в крузі , , і в твердженні теореми . Відповідно доведення можна здійснити у цьому випадку.

Для доведення теореми будемо виходити з розкладу в ряд Тейлора: .

Коефіцієнти розкладу задовольняють нерівності Коші для . Звідси, зокрема, .

На колі для модуля отримуємо оцінку

Припустимо . Тоді функція має нуль. Для маємо

Згідно теореми Руше має в крузі стільки ж коренів, скільки їх має в цьому крузі . Оскільки за припущенням то і для деякого . Тому .

Лема 2 Нехай є голоморфною функцією в крузі і також для всіх . Тоді є бієктивною функцією на .

Доведення Якщо — дві точки у і — відрізок, що їх сполучає то згідно нерівності трикутника: .

Зважаючи на гіпотезу , тобто і функція є ін'єктивною.

Доведення теореми Блоха

Для позначимо і . Тоді є неперервною функцією і . Нехай . Тоді і для всіх виконується нерівність .

Нехай число таке, що і . Тоді .

Якщо то . Оскільки то з означення отримуємо:

для .

З попереднього .

Згідно леми Шварца звідси випливає, що для .

Тому якщо то . З леми 2 випливає що є ін'єктивним на .

Визначимо як . Тоді . Якщо тоді відрізок лежить у .

Тому з попереднього .

З леми 1 отримуємо, що де .

Якщо перевести це твердження для то , що завершує доведення.

Константи Блоха і Ландау Константа 1/72 в теоремі Блоха не є оптимальною.

Число B, що рівне супремуму всіх b, для яких справджується теорема Блоха, називається константою Блоха . Згідно теореми Блоха але точне значення B залишається невідомим.

Подібним чином визначена константа L в теоремі Ландау називається константою Ландау. Її точне значення теж не є відомим.

Найточнішими відомими обмеженнями для B є

де позначає Гамма-функцію. Нижня межа була знайдена у статті Чена і Готьє, верхня межа — у статті Альфорса і Грунського.

Для константи Ландау відомі обмеження

В своїй статті Альфорс і Грунський сформулювали гіпотезу, що вказані верхні обмеження є рівними константам Блоха і Ландау.

Джерела