Абелева категорія — категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано Девідом Бухсбаумом у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендіком для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидах і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.
Означення Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.
Перше означення
Категорія є абелевою, якщо: У ній існує нульовий об'єкт, Існують усі бінарні добутки і кодобутки, Для кожного морфізму існує ядро й коядро, Усі мономорфізми й епіморфізми є нормальними.
Друге означення Локально мала категорія називається абелевою, якщо: Для всіх об'єктів на множині можна ввести структуру абелевої групи. Для морфізмів і виконуються рівності і (білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною. Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною. Для кожного морфізму існує ядро й коядро. Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.
Приклади Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп. Якщо — кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда — Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів. Якщо — нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих -модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою. Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими. Якщо — топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на є абелевою. Якщо — топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.
Аксіоми Гротендіка У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії . AB3) Для будь-якої множини об'єктів категорії існує кодобуток . Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії . AB4) задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сім'ї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором). AB5) задовольняє аксіомі AB3) і точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки підоб'єктів об'єкта і будь-якого — підоб'єкта об'єкта справедливою є рівність
Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам): AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро. AB2) Для будь-якого морфізму канонічний морфізм з в є ізоморфізмом.
Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд
AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій і відображень , виконується , де lim позначає фільтровану кограницю.
Властивості Клас абелевих категорій замкнутий щодо кількох категорних конструкцій; наприклад, категорія ланцюгових комплексів з елементами з абелевої категорії і категорія функторів з малої категорії в абелеву також є абелевими.
Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.
В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.
У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.
Примітки
Див. також Абелева група Теорія категорій
Література
Посилання Абелева категорія // ВУЕ