В теорії ймовірностей і статистиці випадкова величина має дискретний рівномірний розподіл, якщо вона приймає скінченне число значень з однаковими ймовірностями.
Якщо випадкова величина може приймати будь-яке з n значень k1,k2,…,kn, тоді це є дискретним рівномірним розподілом. Ймовірність випадання kj дорівнює 1/n. Простим прикладом дискретного рівномірного розподілу є випадання гральної кості. k набуває значень 1, 2, 3, 4, 5, 6 і кожен раз випадає з імовірністю 1/6. У випадку, коли випадкова величина є дійсним числом, то функцію розподілу можна виразити у термінах виродженого розподілу таким чином:
Визначення максимуму
Вибірка із k спостережень отримана із рівномірного розподілу цілих чисел , для якої існує задача оцінити невідомий максимум N. Цю задачу іноді називають , після того як цей метод оцінки максимуму було застосовано для оцінки темпів виробництва німецьких танків під час Другої світової війни.
Незміщена оцінка з мінімальною дисперсією для рівномірного розподілу, яка визначає максимум задається наступним чином
де m є вибірковим максимумом, а k - розмір вибірки, для вибірки без повторного заміщення. Цей приклад можна розглядати як спрощений випадок .
При цьому матимемо дисперсію
тож стандартне відхилення приблизно становить , середній розмір (для сукупності) проміжку між елементами; порівняємо із вищевказаним .
Максимум вибірки є оцінкою максимальної правдоподібності для максимуму сукупності, але, як зазначалося вище, він є зміщеним.
Якщо вибірка не представлена числами, але її можна промаркувати або розрізнити, розмір популяції можливо визначити методом "Зловити/повторити".
Виведення
Для будь-якого цілого числа m такого що k ≤ m ≤ N, імовірність того, що вибірковий максимум буде дорівнювати m можна розрахувати наступним чином. Кількість різних груп із k танків, які можуть бути утворені із загальної кількості з N танків визначається через біноміальний коефіцієнт . Оскільки при такому способі підрахунку, перестановки танків розраховуються лише раз, ми можемо впорядкувати серійні номери і відмітити максимальний з них в кожній вибірці. Аби розрахувати імовірність ми повинні полічити кількість впорядкованих вибірок, які можуть містити останній елемент, який буде дорівнювати m а всі інші k-1 танків мають номери менші або такий що дорівнює m-1. Кількість таких вибірок з k-1 танків які можна отримати із загальної кількості m-1 танків задається біноміальним коефіцієнтом , тож імовірність отримати максимум m становить .
Дано загальну кількість N і розмір вибірки k, математичне сподівання максимуму вибірки визначається як:
де було використано .
Із цього рівняння, невідому кількість N можна розрахувати через сподівання і розмір вибірки, наступним чином
Відповідно до лінійності математичного сподівання, отримаємо
і таким чином незміщена оцінка для N отримується за допомогою заміни сподівання на спостереження,
Крім того, що ця оцінка є незміщеною вона також досягає мінімальної дисперсії. Аби показати це, відмітимо спершу, що максимум вибірки є достатньою статистикою для визначення максимуму сукупності, оскільки імовірність P(m;N) задається як функція лише від однієї m. Далі необхідно довести, що статистика m також є , особливим видом достатньої статистики (demonstration pending). Тоді передбачає, що є незміщеною оцінкою для N із найменшою дисперсією.G. A. Young and R. L Smith (2005) Essentials of Statistical Inference, Cambridge University Press, Cambridge, UK, p. 95
Дисперсія оцінки розраховується як дисперсія вибіркового максимуму
Дисперсія максимуму в свою чергу розраховується із математичних сподівань і . Розрахунок математичного сподівання для є наступним,
де другий терм є математичним сподіванням для . Перший терм можна виразити через k і N,
де була використана заміна і використане . Підставлення цього результату і математичного сподівання в рівняння для дає
Тоді можна отримати дисперсію для ,
Зрештою можна розрахувати дисперсію для оцінки ,
Див. також Провідність графа Рівномірно розподілена послідовність
Джерела
Примітки