Клас Линника — одне з центральних понять в арифметиці ймовірнісних розподілів. Дотримуючись Ю. В. Линника, позначимо через клас розподілів, що не мають нерозкладних дільників.
Прикладами розподілів, що належать до класу , є нормальні розподіли (теорема Крамера), розподіли Пуассона (теорема Райкова), а також їх згортки (теорема Линника).
Нехай . Тоді, згідно з другою теоремою Хінчина, розподіл є безмежно подільним. Отже, за формулою Леві його характеристична функція може бути подана у вигляді
де , , — -скінченна міра, яка задовольняє умові
Міра називається спектральною мірою Леві безмежно подільного розподілу .
Центральна проблема арифметики ймовірнісних розподілів полягає в знаходженні умов на та які є необхідними та достатніми для того, щоб безмежно подільний розподіл належав класу .
Позначимо через клас безмежно подільних розподілів , які мають ту властивість, що спектральна міра Леві в (1) дискретна та зосереджена на множині виду
де , , а числа , , — натуральні та відмінні від 1.
Теорема Линника про клас Нехай — безмежно подільний розподіл та в формулі (1) . Якщо , то Линник Ю. В. Общие теоремы о разложении безгранично делимых законов. I // Теория вероятностей и ее применения. — 1958. — Т. 3, № 1. — С. 3–40..
Зазначимо, що існують розподіли, що належать класу і не належать . Відповідний приклад побудований в роботі Гольдберг А. А., Островский И. В. Применение теоремы У. К. Хеймана к одному вопросу теории разложений вероятностных законов // Украинский математический журнал. — 1967. — Т. 19, № 3. — С. 104–106.. З іншого боку, при додатковому припущенні про швидке спадання величини при , приналежність класу тягне приналежність класу Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972..
Приналежність класу узагальненого розподілу Пуассона
Наведемо два важливих результати про приналежність класу узагальненого розподілу Пуассона, тобто безмежно подільного розподілу , у якого в (1) , а спектральна міра Леві скінченна.
Теорема 1Островский И. В. О разложениях безгранично делимых законов без гауссовой компоненты // Доклады АН СССР. — 1965. — Т. 161, № 1. — С. 48–51.. Припустимо, що в (1) , спектральна міра Леві скінченна та зосереджена на інтервалі , де . Тоді .
Теорема 2Cuppens R. Ensembles indépendants et décomposition des fonctions caractéristiques // C. R. Acad. Sci. Paris, Série A-B. — 1971. — Vol. 272. — P. A1464–A1466.. Припустимо, що в (1) , спектральна міра Леві скінченна та зосереджена на множині з незалежними точками. Тоді .
Властивості класу як підмножини в класі усіх безмежно подільних розподілів.
Клас щільний в слабкій топології в класі усіх безмежно подільних розподілівОстровский И. В. О некоторых классах безгранично делимых законов // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1970. — Т. 34, № 4. — С. 923–944.. Будь-який безмежно подільний розподіл можна представити у вигляді скінченної або нескінченної згортки розподілів, які належать класу .
Примітки