У математиці три класичні засоби Піфагорових середніх: середнє арифметичне (AM), середнє геометричне (GM) і середнє гармонійне (HM). Ці засоби були пропорційно вивчені піфагорійцями разом з пізнішим поколінням грецьких математиків, через їхню важливість у геометрії та музиці. Визначення Вони визначаються так:
Властивості Кожне значення має наступні властивості: Збереження цінності Однорідна функція першої послідовності Інваріантність при перестановці для будь-якої та . Виведення середньої величини
Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один одного для позитивних аргументів:
в той час як середнє геометричне — це його власна взаємна подвійність:
Нерівності серед середніх Існує впорядкування цих середніх (якщо всі позитивні)
з рівноправністю, тільки якщо всі рівні.
Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності, та взаємної подвійності ( і також взаємні подвійні).
Вивчення піфагорових середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації й . Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.
Примітки
Посилання (на англ.) Nice comparison of Pythagorean means with emphasis on the harmonic mean (на англ.)