Середнє гармонійне (також середнє гармонічне) — один із видів усереднення, частковий випадок середнього степеневого з індексом −1. За означенням середнє гармонійне H для n чисел x1, x2, …, xn > 0 дорівнює
Наприклад, середнє гармонійне трьох чисел 1, 4 та 4 буде
Поряд із середнім арифметичним та середнім геометричним середнє гармонійне належить до так званих піфагорових середніх.
Необхідність сумування обернених величин часто виникає в фізиці та в інших областях застосування математики. Наприклад, зведена маса, опір паралельно сполучених опорів обчислюються за формулами, які відрізняються тільки множником n.
Визначення Середнє гармонійне H додатних дійсних чисел визначається як
Третій вираз вказує на те, що середнє гармонійне є оберненим середнім арифметичним обернених чисел.
З формули
стає очевидним зв'язок з середнім арифметичним і геометричним. Середнє гармонійне є оберненим дуальним до середнього арифметичного для додатних чисел:
Середнє гармонійне є і оцінюється за допомогою мінімуму аргументів. Тобто, для любих додатних аргументів . Отже, не можливо зробити середнє гармонійне скільки завгодно великим, якщо змінювати тільки деякі аргументи (принаймні один аргумент повинен залишатись незмінним).
Відношення з іншими середніми Середнє гармонійне — одне з трьох піфагорових середніх. Для будь-якого додатного набору чисел, який містить принаймні два різних числа, гармонійне середнє завжди буде найменшим з цих трьох середніх.Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, «A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities», RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf При цьому середнє арифметичне буде найбільшим з них, а середнє геометричне значення буде між цими двома. Рівність досягається, коли всі числа однакові.
У частковому випадку M−1 середнього степеневого:
Оскільки середнє гармонійне наближається до найменших елементів заданих чисел, то, порівняно з середнім арифметичним, він суттєвіше зменшує вплив викидів з великими значеннями і посилює вплив малих чисел.
Середнє арифметичне часто помилково використовують там, де місце гармонійному середньому.*Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, В наведеному нижче прикладі для швидкостей, середнє арифметичне 50 є неправильним і занадто великим.
Середнє гармонійне пов'язано з іншими Піфагоровими середніми, як видно у наведеному вище рівнянні. Можна інтерпретувати знаменник як середнє арифметичне n різних добутків n-1 числа, у кожному з яких з n чисел було викинуто одне число з індексом j. Тобто, перше число є добутком всіх з n чисел, окрім першого; друге число є добутком всіх з n чисел, окрім другого; і так далі. Таким чином середнє гармонійне пов'язане з середнім геометричним і арифметичним. Загальна формула подібності:
Середнє гармонійне двох і трьох чисел
Два числа
Для випадку тільки двох чисел, та , середнє гармонійне може бути записане наступним чином:
В цьому особливому випадку, середнє гармонійне відноситься до середнього арифметичного та середнього геометричного наступним чином:
Через те, що за нерівністю середнього арифметичного та геометричного, показує, що у випадку n = 2, що H ≤ G (хоча властивість, насправді виконується для всіх n). Також слідує , що означає, що середнє геометричне двох чисел дорівнює середньому геометричному їх середнього арифметичного та середнього гармонійного.
Три числа Три додатні числа H, G, та A відповідно середні гармонійне, геометричне та арифметичне трьох додатних чисел тоді й лише тодіInequalities proposed in «Crux Mathematicorum», ., коли має місце наступна нерівність:
Зважене середнє гармонійне
Якщо множина ваг , …, пов'язана із множиною даних , …, , зважене середнє гармонійне визначається так:
Незважене середнє гармонійне можна розглядати як особливий випадок: коли всі ваги дорівнюють 1, або тотожно, коли всі ваги однакові.
Приклади
У фізиці
Середня швидкість У певних ситуаціях, особливо в багатьох ситуаціях, пов'язаних з і співвідношенням, середнє гармонійне забезпечує найсправжніше середнє. Наприклад, якщо транспортний засіб проходить певну дистанцію d зі швидкістю x (наприклад, 60 кілометрів на годину — ), а потім знову на тій же відстані зі швидкістю y (наприклад, 40 ), то його середня швидкість є середнім гармонійним x і y (48 ), і його загальний час проїзду такий самий, як якщо б вона пройшла всю відстань на цій середній швидкості. Це можна довести наступним чином:
Середня швидкість за мандрівку =
= (середнє гармонійне x та y).
або можна обчислити інакше, а саме скоротити на d:
Однак, якщо транспортний засіб їде певну кількість часу зі швидкістю x, а потім на таку ж кількість часу на швидкості y, тоді його середня швидкість становить середнє арифметичне між x та y, яке у прикладі вище становить 50 кілометрів на годину. Цей же принцип застосовується для більш ніж двох відрізків: коли ми маємо серію підпоїздок з різною швидкістю, якщо кожна підпоїзка охоплює ту саму відстань, то середня швидкість є середнім гармонійним всіх швидкостей підпоїздок; і якщо кожна підпоїздка займає однакову кількість часу, то середня швидкість — це середнє арифметичне значення всіх швидкостей підпоїздок. (Якщо жоден з описаних випадків не підходить, то необхідне середнє гармонійне зважене або середнє арифметичне зважене. Для середнього арифметичного швидкість кожної частини поїздки зважене за її тривалістю, тоді як для середнього гармонійного відповідна вага — це відстань. В обох випадках отримана формула скорочується до ділення загальної відстані на загальний час)
Однак можна уникнути використання середнього гармонійного для випадку «зважування за відстанню». Поставте проблему як знаходження «повільності» поїздки, де «повільність» (у годинах на кілометр) є зворотнім до швидкості. Коли знайдено повільність поїздки, перегорніть її так, щоб знайти «справжню» середню швидкість поїздки. Для кожного відрізка поїздки i, повільність si = . Потім візьміть зважене середнє арифметичне значення si з вагою на їх відповідних відстанях (необов'язково з вагами, нормованими, таким чином вони підсумовуються до 1, розділяючи їх довжиною відправлення). Це дає справжню середню повільність (у часі на кілометр). Виявляється, ця процедура, яка може бути зроблена без знання гармонійного означає, дорівнює тим же математичним операціям, які можна було б використати для вирішення цієї проблеми за допомогою гармонійного середнього. Таким чином, це ілюструє, чому у даному випадку діє гармонійне значення.
Щільність Так само, якщо хочете оцінити щільність сплаву при даних щільностях його складових елементів та маси їх долей у складі(або аналогічно відсотки від загальної маси), то прогнозована щільність сплаву (якщо не враховувати типові малі зміни в об'ємі через пакувальні ефекти) буде дорівнювати середньому гармонійному зваженому окремих щільностей, зважених за масою, замість зваженого середнього арифметичного, як можна було подумати спочатку. Щоб використовувати зважене середнє арифметичне, щільності повинні бути зважені за об'ємом. Якщо застосувати аналіз розмірностей до задачі, тобто позначати одиниці вимірювання маси для кожного елементу і переконатись, що скорочуються тільки маси відповідних за масою елементів, то все стане зрозуміло.
Електрика Якщо з'єднати два електричних резистори паралельно, у одного з яких опір дорівнює x(наприклад, 60 Ω), а у іншого y (наприклад, 40 Ω), то ефект буде такий самий, як при використанні двох резисторів з однаковим опором, рівним середньому гармонійному між х та у (48 Ω): повний опір в обох випадках дорівнює 24 Ω (половина середнього гармонійного). Цей же принцип можна застосувати до послідовних електричних конденсаторів або паралельних індукторів.
Однак, якщо з'єднати резистори послідовно, то середній опір дорівнюватиме середньому арифметичному між x та y (з загальним опором рівним сумі х та у). Як і в попередньому прикладі, принцип застосовується і коли більше двох резисторів з'єднані, всі паралельно або всі послідовно.
Ефективна маса напівпровідника теж визначається як середнє гармонійне ефективних мас трьох кристалографічних напрямків.
Оптика Див. Фокусна відстань.
У фінансах Середньозважений параметр гармоніки — це переважний спосіб усереднення множників, таких як коефіцієнт ціна / прибуток (P / E), в якому ціна в чисельнику. Якщо ці співвідношення усереднені з використанням середнього арифметичного зваженого (загальна помилка), то для більших елементів даних надається більша вага, ніж для менших. З іншого боку, середнє гармонійне зважене призначає однакову вагу для кожного елементу даних. Просте середнє арифметичне зважене, коли застосовується до нецінових нормалізованих співвідношень, таких як P / E, зміщена у бік збільшення і не може бути чисельно обґрунтованим, оскільки воно базується на вирівняних прибутках; так само, як швидкість транспортних засобів не може бути усереднена для поїздки в обидва кінці.
Наприклад, розглянемо дві фірми, одна з яких має ринкову капіталізацію 150 млрд доларів, а прибуток у розмірі 5 млрд доларів (P / E — 30), а інша з ринковою капіталізацією — 1 млрд доларів і прибуток 1 млн доларів (P / E — 1000). Розглянемо індекс, складений з двох акцій, з 30 % інвестованих у першу, та 70 % інвестованих у другу. Ми хочемо обчислити співвідношення P / E цього показника.
З використанням середнього арифметичного зваженого (не правильно):
З використанням середнього гармонійного зваженого (правильно):
Таким чином, правильний Р / Е, який дорівнює 93.46 цього індексу, можна знайти лише за допомогою середнього гармонійного зваженого, тоді як середнє арифметичне зважене значно переоцінить його.
У геометрії В будь-якому трикутнику, радіус вписаного кола дорівнює третині від середнього гармонійного висот трикутника.
Для будь-якої точки Р на меншій дузі BC описаного кола рівностороннього трикутника ABC, з відстанями q та t від В та С відповідно, і з перетином PA та BC на відстані y від точки P, ми маємо, що y — це половина середнього гармонійного від q та t.
В прямокутному трикутнику з катетами a та b і висотою h від гіпотенузи до прямого кута, — це половина середнього гармонійного від та .Voles, Roger, «Integer solutions of ,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, " Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–;317.
Нехай t та s (t > s) будуть сторонами двох вписаних квадратів у прямокутний трикутник з гіпотенузою c. Тоді дорівнює половині середнього гармонійного та .
Нехай трапеція має вершини A, B, C, та D послідовно та паралельні сторони AB та CD. Нехай E буде перетином діагоналей, і нехай F лежить на стороні DA та G лежить на стороні BC так, що пряма FEG паралельна AB та CD. Тоді відрізок FG є середнім гармонійним між AB та DC. (Це доводиться через рівність трикутників.)
У задачі про перехрещені драбини, дві драбини лежать перекинуті хрест на хрест через алею, кожна впирається в основу однієї з бічних стінок, одна з яких прикладена до стіни на висоті A та інша прикладена до протилежної стіни на висоті B, як показано на малюнку. Дробини схрещуються на висоті h над підлогою алеї. Тоді h є половиною середнього гармонійного між A та B. Цей результат зберігається, якщо стінки нахилені, але так само паралельні, а «висоти» A, B, та h вимірюються від підлоги вздовж ліній паралельних до стін.
В еліпсі, половина хорди фокусу еліпсу (відрізок від фокусу до кордону еліпсу, паралельний директрисі меншої осі), дорівнює середньому гармонійному максимальної та мінімальної відстаней від фокусу до еліпса.
В інших науках