Динамі́чна систе́ма — математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Динамічні системи досліджує теорія динамічних систем, яка має застосування в широкому переліку областей, як от математика, фізика,, біологія, хімія, інженерія, економіка, історія та медицина. Динамічні системи є основою для теорії хаосу, динамік логістичних відображень, теорії біфуркацій, процесів самозбирання і самоорганізації та концепції границі хаосу.

Огляд Концепція динамічних систем походить з класичної механіки. Там, як і в інших природничих та інженерних дисциплінах, правило еволюції динамічних систем є неявним співвідношенням, яке задає стан системи лише на короткий час у майбутньому. (Це співвідношення задається через диференціальні рівняння, рекурентні співвідношення, тощо.) Щоб визначити стан для всіх майбутніх миттєвостей часу, потрібно повторити співвідношення для кожного просування на невеликий крок. Ця ітераційна процедура називається розв'язанням системи або інтегруванням системи. Якщо систему можна розв'язати, то за початковою точкою можна визначити всі її майбутні положення—сукупність точок, яку називають траєкторією або .

До появи комп'ютерів пошук орбіти вимагав складних математичних обчислень та міг бути здійснений лише для невеликого класу динамічних систем. Чисельні методи, реалізовані на електронно-обчислювальних машинах, спростили задачу визначення орбіт динамічної системи.

Для простих динамічних систем часто достатньо знати траєкторію, але більшість динамічних систем занадто складні, щоб їх розуміти в якості окремих траєкторій. Труднощі виникають через:

Системи, що вивчаються, можуть бути відомі лише приблизно — параметри системи можуть бути не відомі точно або бути відсутніми в рівняннях. Використані наближення ставлять під сумнів вірність чи релевантність чисельних розв'язків. Для вирішення цих питань у дослідження динамічних систем було введено кілька понять стабільності, наприклад стійкість за Ляпуновим або структурна стійкість. Стійкість динамічної системи означає, що існує клас моделей або початкових умов, для яких траєкторії будуть еквівалентними. Операції порівнянь орбіт для встановлення їх еквівалентності різні для різних понять стійкості. Тип траєкторії може бути важливішим, ніж одна конкретна траєкторія. Деякі траєкторії можуть бути періодичними, тоді як інші можуть блукати через багато різних станів системи. Застосування часто вимагають перерахування цих класів або підтримки системи в межах одного класу. Класифікація всіх можливих траєкторій привела до якісного вивчення динамічних систем, тобто властивостей, які не змінюються при зміні координат. Лінійні динамічні системи та системи, які мають два числа, що описують стан, є прикладами динамічних систем, де зрозумілі можливі класи орбіт. Поведінка траєкторій як функція від параметра може бути тою, що потрібна для застосування. Оскільки параметр змінюється, динамічні системи можуть мати точки біфуркації, в яких змінюється якісна поведінка динамічної системи. Наприклад, вона може перейти від лише періодичних рухів до явно непостійної поведінки, як при переході до турбулентності рідини. Траєкторії системи можуть здаватися непостійними, ніби випадковими. У цих випадках може знадобитися обчислити середні значення, використовуючи одну дуже довгу траєкторію або багато різних траєкторій. Середні значення добре визначені для ергодичних систем, а для гіперболічних систем було розроблено більш детальне розуміння. Розуміння імовірнісних аспектів динамічних систем допомогло встановити основи статистичної механіки та хаосу.

Історія Багато людей вважають французького математика Анрі Пуанкаре засновником теорії динамічних систем.Holmes, Philip. «Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and „chaos“.» Physics Reports 193.3 (1990): 137—163. Пуанкаре опублікував дві вже класичні монографії «Нові методи небесної механіки» (1892—1899) та «Лекції з небесної механіки» (1905—1910). У них він успішно дослідив задачу про рух трьох тіл та детально вивчив поведінку розв'язків. Ці роботи включали теорему Пуанкаре про рекурентність, яка стверджує, що деякі системи через досить тривалий, але скінченний час повертаються до стану, дуже близького до початкового.

Олександр Ляпунов розробив багато важливих методів апроксимації. Його методи, розроблені ним у 1899 р., дозволяють визначити стійкість розв'язків звичайних диференціальних рівнянь. Він створив сучасну теорію стійкості динамічних систем.

У 1913 році американський математик Джордж Девід Біркгоф довів , окремий випадок задачі трьох тіл, цей результат зробив його всесвітньо відомим. У 1927 році він опублікував роботу Динамічні системи . Також відомими результатом Біркгофа стало його відкриття в 1931 році того, що зараз називають ергодичною теоремою. Поєднуючи знання з фізики щодо ергодичної гіпотези з теорією міри, за допомогою цієї теореми було вирішено фундаментальну проблему статистичної механіки. Ергодична теорема також мала вплив на динаміку.

Інший американський математик Стівен Смейл також досяг значних успіхів. Його першим внеском стала підкова Смейла, яка дала початок значним дослідженням динамічних систем. Він також окреслив дослідницьку програму, яку проводили багато інших вчених.

У 1964 році український математик Олександр Шарковський довів теорему про періоди дискретних динамічних систем. Одним із наслідків цієї теореми є те, що якщо дискретна динамічна система на дійсній прямій має періодичну точку періоду 3, то вона також має періодичні точки кожного іншого періоду.

Наприкінці 20 століття почали набувати популярність динамічні системи, пов'язані з диференціальними рівняннями з частинними похідними. Палестинський інженер-механік застосував нелінійну динаміку в механічних та інженерних системах. Його піонерська робота в галузі прикладної нелінійної динаміки мала вплив на будівництво та обслуговування машин та конструкцій, які є звичайними в повсякденному житті, таких як кораблі, крани, мости, будівлі, хмарочоси, реактивні двигуни, ракетні двигуни, літаки та космічні апарати.

Основні поняття Нехай — топологічний простір та — неперервна функція, яка задовольняє наступні умови: 1) для довільного , тобто ; 2) для довільних (групова властивість). Тоді однопараметрична сім'я відображень , де , називається неперервною (або топологічною) динамічною системою.

Топологічний простір називається фазовим простором динамічної системи.

Відображення називається рухом точки , а його графік — траєкторією точки .

Орбітою точки називається множина . Множина називається додатною напів орбітою точки , а — від'ємною напів орбітою точки .

Підмножина фазового простору називається інваріантною (відповідно додатно-напівінваріантною, від'ємно-напівінваріантною), якщо для довільного (відповідно ) .

Існує два види визначень динамічних систем: перший мотивується звичайними диференціальними рівняннями і має геометричний характер, а інший — ергодичною теорією і має мірний характер.

Геометричне визначення У геометричному визначенні є многовидом або графом у дискретному випадку, а — правило еволюції таке що, є дифеоморфізмом многовиду самого в себе. Тому є «гладким» відображенням часової області в простір дифеоморфізмів многовиду самого в себе.

Динамічні системи з неперервним часом Для дійсної динамічної системи, динамічної системи дійсного часу, динамічної системи з неперервним часом або потоку визначається многовидом, локально дифеоморфним деякому Банаховому простору. Якщо неперервно диференційована функція, то динамічну систему називають диференційованою. Якщо многовид локально дифеоморфний , то динамічну систему називають скінченновимірною, інакше — нескінченновимірною. Коли визначена на всій дійсній прямій для всіх , то динамічну систему називають глобальною або , а коли на додатній півосі, то — напівпотоком.

Динамічні системи з дискретним часом Для дискретної динамічної системи або динамічної системи з дискретним часом визначається многовидом, локально дифеоморфним деякому Банаховому простору. Коли визначена лише на цілих числах для всіх , то динамічну систему називають каскадом або відображенням, а коли на невід'ємних цілих, то — напівкаскадом.

Компактифікація динамічної системи Нехай задано потік на локально компактному та гаусдорфовому топологічному просторі . Часто корисно вивчати неперервне розширення до для одноточкової компактифікації до . Хоч буде втрачена диференціальна структура вихідної системи, але можна буде використовувати компактність для аналізу нової динамічної системи, бо у компактній системі, як мінімум, гранична множина кожної орбіти є непорожньою, компактною та однозв'язною областю.

Мірне визначення

Динамічну систему можна визначити як перетворення, що зберігають міру, для мірного простору. Нехай — мірний простір, де — непорожня множина, — сигма-алгебра на , — скінченна міра на , а — -вимірна функція. Кажуть, що відображення зберігає міру тоді і тільки тоді, коли для кожного виконується рівність . Поєднуючи вищесказане, кажуть, що відображення є перетворенням , що зберігає міру, якщо це відображення з на себе є -вимірним і зберігає міру, а сім'ю — динамічною системою, що зберігає міру.

Зв'язок з геометричним визначенням

Мірне визначення передбачає існування перетворення, що зберігає міру. Багато різних інваріантних мір можуть бути пов'язані з будь-яким одним правилом еволюції. Якщо динамічна система задана системою диференціальних рівнянь, то необхідно визначити відповідну міру. Це ускладнює розробку ергодичної теорії, починаючи з диференціальних рівнянь, тому стає зручним мати в ергодичній теорії визначення, мотивоване динамічними системами, яке обходить стороною вибір міри та припускає, що вибір зроблено. Проста конструкція (іноді її називають теоремою Крилова — Боголюбова) показує, що для великого класу систем завжди можна побудувати міру так, щоб зробити правило еволюції динамічної системи перетворенням, що зберігає міру.

Для гіперболічних динамічних систем природним вибором є . Вона будується на геометричній структурі динамічної системи; вона поводяться фізично при невеликих збуреннях та пояснює багато спостережуваної статистики гіперболічних систем.

Побудова динамічних систем Для задання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір, множину моментів часу і деяке правило, що описує рух точок фазового простору з часом. Концепція еволюції в часі є центральною в теорії динамічних систем, як показано в попередніх розділах: основною причиною цього факту є те, що початковою мотивацією теорії було вивчення часової поведінки класичних механічних систем. Але систему звичайних диференціальних рівнянь необхідно розв'язати, перш ніж вона стане динамічною системою. Наприклад, розглянемо таку задачу Коші:

де

являє собою швидкість матеріальної точки x є скінченновимірним многовидом є вектор-функцією в або та являє собою зміну швидкості, викликану силами, що діють на дану матеріальну точку у фазовому просторі . Ця зміна не є вектором у фазовому просторі , але є вектором дотичному просторі .

Немає потреби ні в похідних вищого порядку в рівнянні, ні в параметрі у , оскільки їх можна усунути, розглянувши системи вищих розмірностей.

Залежно від властивостей цієї вектор-функції механічну систему називають

автономною, якщо ; однорідною, якщо для всіх .

Рішення можна знайти за допомогою стандартних методів розв'язання однорідних диференціальних рівнянь та позначається як функція еволюції, вже введена вище

Після наступних маніпуляцій:

де — функціонал з множини еволюційних функцій до поля комплексних чисел, отримаємо більш загальний вигляд рівнянь, яким повинна задовольняти динамічна система.

Це рівняння корисне при моделюванні механічних систем зі складними обмеженнями.

Багато концепцій динамічних систем можна поширити на нескінченновимірні многовиди, які є локально банаховими просторами. У цьому випадку диференціальні рівняння є диференціальними рівняннями з частинними похідними.

Приклади