У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною , 7.1.9; , (5.94), (5.95).
Резольвенти
Нехай — модуль над кільцем R. Точна послідовність називається лівою резольвентою модуля . Якщо для кожного , модуль є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо і для всіх , ця резольвента називається резольвентою довжини . Якщо такого цілого числа немає, резольвента має нескінченну довжину. Точна послідовність називається правою резольвентою модуля . Якщо для всіх , модуль є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної. Для всіх R-модулів існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів існують ін'єктивні резольвенти , Prop. 6.2 і 6.4.
Розмірність модуля
Позначимо і вважатимемо, що для всіх , , і .
Нехай — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається (відповідно називається точна нижня грань в довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для . Приймається також .
Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):
Лівий R-модуль має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого для деякого лівого R-модуля
Лівий R-модуль має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого для деякого циклічного лівого R-модуля
Лівий R-модуль має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля
є точним справа функтором від другого аргумента.
Якщо послідовність модулів і гомоморфізмів
є точною послідовністю і всі модулі є проективними, то і модуль є проективним.
Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:
де позначає множину максимальних ідеалів, а — локалізацію кільця і модуля за ідеалом
За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.
Розмірність кільця
Глобальна розмірність
Нехай позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними, 7.1.8. :
Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як . Ця величина є верхньою межею в величин , для яких є два ліві R-модулі і для яких (див. статтю Функтор Ext)
Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається .
Справедливими також є рівності:
де I є усіма лівими ідеалами кільця R.
де I є усіма правими ідеалами кільця R.
Коли = (зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається , 7.1.11.
Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії так, що якщо (відповідно, ), ця розмірність є рівною (відповідно ), визначеними вище .
Слабка розмірність
Дві такі величини є рівними , §7.1. :
Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається . Ця величина є верхньою межею в чисел , для яких існує правий R-модуль і лівий R-модуль , для яких (див. статтю Функтор Tor).
Властивості і приклади.
Модуль раціональних чисел над кільцем цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.
The module над кільцем має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.
Модуль над кільцем має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.
Нехай є точною послідовністю лівих модулів над R і Тоді:
Зокрема якщо
Для того щоб модуль був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб (відповідно ).
Нехай — гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:
Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.
Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність. Якщо R є нетеровим, то . Кільце матриць виду має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва. Нехай є комутативним кільцем; тоді (теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем), , §8, Thm. 1.. Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді Нехай R — комутативне кільце, — мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і — локалізація . Тоді і . Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо , Example 8.20..
Регулярні кільця
Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва. . Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним. Якщо , то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) , (5.94) ; , Appendix.. Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації R є регулярними. Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце (теорема Свана), 7.7.3, 7.7.5. .
Примітки
Див. також Ін'єктивний модуль Плоский модуль Проективний модуль Регулярне локальне кільце Резольвента (гомологічна алгебра) Розмірність Круля Функтор Tor
Література
. .