У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і точним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них: 0, 1, 36, , , , , , ,
Детальні формули
Якщо позначити для -го квадратного трикутного числа, а і прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді
Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа як . З цього визначення та квадратичної формули,
Тому, є трикутним числом (для цілого ) тоді й лише тоді, коли є квадратом. Відповідно, квадратне число є трикутним числом тоді й лише тоді, коли є квадратом, тобто, коли існують числа і , для яких . Це є випадком рівняння Пелля для . Всі рівняння Пелля мають тривіальний розв'язок для будь-якого ; його також називають нульовим розв'язком, та індексують як . Якщо позначає -й нетривіальний розв'язок будь-якого рівняння Пелля для конкретного , його можна зобразити методом спуску, тобто
Тому існує нескінченність розв'язків для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує один нетривіальний розв'язок, що залишається правильним для будь-якого , яке не є квадратом. Перший нетривіальний розв'язок для легко знайти: це (3,1). Розв'язок для рівняння Пелля для дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:
Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від , є 36.
Послідовності , і є відповідно послідовностями OEIS , і .
Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу
Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають
Відповідні детальні формули для і є наступними:
Рівняння Пелля Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.
Кожне трикутне число має форму , тому потрібно шукати такі цілі числа , , що
Трансформуючи, отримуємо
а тоді, підставляючи і , отримуємо Діофантове рівняння
яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння розв'язується числом Пелля , а саме
а тому всі розв'язки можна записати як
Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.
Рекурентні співвідношення
Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо
Маємо
Інші характеристики
Всі квадратні трикутні числа мають форму , де є наближенням до ланцюгового дробу для .
А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:
Якщо -не трикутне число є квадратним, то і більше -не трикутне число є таким, оскільки:
Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, (початкове квадратне трикутне число) та .
Трикутні корені є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо непарним числом. Так, 49 = 72 = 2 × 52 − 1, 288 = 172 − 1 = 2 × 122, і 1681 = 412 = 2 × 292 − 1. У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають : , , і .
Додатково:
, , and . Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.
Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:
Числові дані
По мірі зростання , співвідношення наближається до ≈ , а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається ≈ . Таблиця нижче дає значення між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до .
{| class="wikitable" border="1" style="text-align: right" |- ! ! ! ! !rowspan=2 valign=top| !rowspan=3 valign=top| |- |0 |0 |0 |0 |- |1 |1 |1 |1 |align=left|1 |- |2 |36 |6 |8 |align=left| |align=left|36 |- |3 | |35 |49 |align=left|1.4 |align=left| |- |4 | |204 |288 |align=left| |align=left| |- |5
|align=left| |align=left| |- |6
|align=left| |align=left| |- |7
|align=left| |align=left| |- |8
|align=left| |align=left| |- |9
|align=left| |align=left| |- |10
|align=left| |align=left| |- |11
|align=left| |align=left|
Див. також Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними Квадратне число Центроване квадратне число
Примітки
Посилання Трикутні числа, які також квадратні на cut-the-knot
Розв'язок Майкла Даммета