У математиці групою Брауера поля k називається група класів еквівалентності скінченновимірних центральних простих алгебр над полем k із груповою операцією заданою тензорним добутком.
Група Брауера була визначена і вивчалася в серії робіт Брауера, Нетер, Алберта, Гассе і інших починаючи з 20-х років 20 століття. Найповніші результати, аж до повного обчислення групи Брауера, були отримані для числових полів у зв'язку з розвитком теорії полів класів. У термінах групи Брауера формулюється загальна форма закону взаємності.
Узагальненням поняття групи Брауера є група Брауера—Гротендіка, що визначається аналогічно група Брауера з заміною центральних простих алгебр на алгебри Адзумаї.
Означення Алгебра A над полем k називається центральною простою, якщо її центр є рівним k і вона є простим кільцем. Якщо А і В є двома центральними простими алгебрами над полем k, то і їх тензорний добуток є центральною простою алгеброю.
Якщо A є центральною простою алгеброю над полем k то центральною простою алгеброю буде також обернена алгебра, тобто алгебра Аop побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як До того ж де n — розмірність А над полем k.
Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.
Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем k є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра є ізоморфною алгебрі
З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.
Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести . Дана операція є коректно визначеною, тобто якщо A ~ C і B ~ D (у введеному відношенні еквівалентності), то також .
Оскільки то і клас еквівалентності поля k (який також містить всі повні матричні алгебри M(m,k)) є нейтральним елементом для даної бінарної операції.
Також [A][Аop ] = [Аop ][A] = [M(m,k)] = [k], тобто клас [Аop ] є оберненим до [A].
Із властивостей тензорного добутку також випливає, що введена операція є комутативною і асоціативною і тому множина класів еквівалентності із введеною операцією є абелевою групою, яка називається групою Брауера поля k і позначається
Приклади
Група Брауера дорівнює 0 для будь-якого сепарабельно замкнутого поля і будь-якого скінченного поля. Для поля дійсних чисел група Брауера є циклічною групою 2-го порядку і її ненульовий елемент — клас алгебри кватерніонів. Якщо k — поле p-адичних чисел або будь-яке повне дискретно нормоване локально компактне поле, то його група Брауера є ізоморфною (тут — адитивна група раціональних чисел, — адитивна група цілих чисел). Цей факт є важливим в локальній теорії полів класів.
Властивості
Група Брауера є абелевою. Група Брауера завжди є періодичною групою. Порядок будь-якого її елемента ділить число n, де n^2 — ранг тіла, що представляє цей елемент. Група Брауера функторіально залежить від k, тобто якщо K — розширення поля k, то визначений гомоморфізм Його ядро, що позначається складається з класів алгебр, що розщеплюються над К.
Теорія полів класів Нехай k — поле алгебричних чисел скінченного степеня або поле алгебричних функцій від однієї змінної із скінченним полем констант. Тоді має місце точна послідовність груп:
де v пробігає всі нормування поля k, а — відповідні поповнення поля k, гомоморфізм індукується природними вкладеннями Образ елемента з в називається локальним інваріантом, гомоморфізм є сумою локальних інваріантів. Цей факт встановлюється в глобальній теорії полів класів. Якщо k — поле алгебричних функцій від однієї змінної над алгебрично замкнутим полем констант, то його група Брауера є нульовою (теорема Тзена).
Когомології Галуа Конструкції схрещених добутків за допомогою систем факторів призводять до когомологічної інтерпретації група Брауера. Для будь-якого нормального розширення K/k має місце ізоморфізм
де — група двовимірних когомологій Галуа з коефіцієнтами в мультиплікативній групі поля K. Більш того, група є ізоморфною де — сепарабельне замикання поля k. Зіставлення центральній простій алгебрі її класу в група Брауера здійснюється за допомогою кограничного оператора
в когомологічній послідовності для точної послідовності груп
де і — лінійна і проективна групи матриць порядку Тут група інтерпретується як множина класів з точністю до k-ізоморфізму центральних простих алгебр рангу над полем k, що розщеплюються над K або як множина класів k-ізоморфних многовидів Брауера — Севері розмірності n-1, що мають K-точку.
Когомологічна інтерпретація група Брауера дозволяє розглядати її як групу класів центральних розширень групи Галуа сепарабельного замикання за допомогою групи
Див. також
Центральна проста алгебра
Література
Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.