Пара́метр () — у загальному значенні це будь-яка характеристика, яка може допомогти у визначенні або класифікації певної системи (тобто події, проєкту, об'єкта, ситуації тощо). Отже, параметр — це елемент системи, який є корисним або критично важливим для її ідентифікації чи для оцінювання її функціонування, стану, умов тощо.
Термін параметр має більш конкретні значення в різних галузях, зокрема в математиці, комп'ютерному програмуванні, інженерії, статистиці, логіці, лінгвістиці та електронній музичній композиції.
Окрім технічного вживання, існують і розширені значення цього слова, особливо в ненаукових контекстах, де ним позначають визначальні характеристики або межі, як, наприклад, у висловах «параметри тестування» чи «параметри ігрового процесу».
Моделювання
Коли систему описують за допомогою рівнянь, величини, що її характеризують, називають параметрами. Наприклад, у механіці маси, розміри і форми (для твердих тіл), а також густини й в'язкості (для рідин) виступають як параметри в рівняннях, що моделюють рухи. Часто існує кілька можливих виборів параметрів, і добір зручного набору параметрів називають параметризацією.
Наприклад, якщо розглядати рух об'єкта по поверхні кулі, значно більшої за сам об'єкт (скажімо, Землі), то зазвичай використовують дві поширені параметризації його положення: кутові координати (такі як широта й довгота), які зручно описують великі переміщення вздовж кіл на поверхні кулі, та напрямну відстань від відомої точки (наприклад, «10 км на північний північний захід від Торонто» або, рівнозначно, «8 км точно на північ, а потім 6 км точно на захід від Торонто»). Останній спосіб часто є простішим для опису рухів, обмежених (відносно) невеликою територією, наприклад у межах певної країни чи регіону. Такі параметризації також мають значення для моделювання географічних територій (тобто для побудови карт).
Математичні функції
Математичні функції мають один або кілька аргументів, які в означенні позначаються змінними. Означення функції також може містити параметри, але, на відміну від змінних, параметри не перелічуються серед аргументів, які приймає функція. Якщо параметри присутні, то означення фактично задає цілу родину функцій — по одній для кожного допустимого набору значень параметрів. Наприклад, можна задати загальну квадратичну функцію, оголосивши
тут змінна x позначає аргумент функції, а a, b і c — параметри (у цьому випадку також звані коефіцієнтами), які визначають, яку саме квадратичну функцію розглядають. Параметр можна включити до назви функції, щоб указати її залежність від цього параметра. Так, логарифм за основою b можна визначити формулою
де b — параметр, що вказує, яка саме логарифмічна функція використовується. Він не є аргументом функції і, наприклад, вважається сталою під час обчислення похідної .
У деяких неформальних ситуаціях питання, чи вважати певні символи в означенні функції параметрами, чи змінними, є справою домовленості (або історичної випадковості). Однак зміна статусу символів між параметром і змінною змінює функцію як математичний об'єкт. Наприклад, позначення , задає поліноміальну функцію від n (коли k розглядається як параметр), але не є поліноміальною функцією від k (коли n розглядається як параметр). Справді, в останньому випадку вона визначена лише для невід'ємних цілих значень аргументу. Більш формальні виклади таких ситуацій зазвичай починають із функції кількох змінних (включно з усіма тими, які інколи називають «параметрами»), наприклад
як із найфундаментальнішого об'єкта, а потім означають функції з меншою кількістю змінних із головної за допомогою карування.
Іноді корисно розглядати всі функції з певними параметрами як параметричне сімейство, тобто як індексоване сімейство функцій. Приклади з теорії ймовірностей наведено нижче.
Приклади У розділі, присвяченому словам, які часто вживають неправильно, у своїй книзі Мистецтво письменника (The Writer's Art), навів лист від одного з кореспондентів, подаючи приклади для ілюстрації правильного вживання слова параметр:
В. М. Вудс … математик … пише …: «… змінна — це одна з багатьох речей, якою параметр не є». … Залежна змінна — швидкість автомобіля — залежить від незалежної змінної, положення педалі газу. [Кілпатрік, цитуючи Вудса]: «Тепер … інженери … змінюють плечі важелів у тягловому механізмі … швидкість автомобіля … і далі залежатиме від положення педалі … але … іншим чином. Ви змінили параметр»
— це , який дозволяє встановлювати частоту максимального послаблення або підсилення за допомогою одного регулятора, а величину цього послаблення чи підсилення — за допомогою іншого. Ці налаштування (частотний рівень піка або спаду) є двома параметрами кривої частотної характеристики, і у двосмуговому еквалайзері вони повністю описують цю криву. Більш складні параметричні еквалайзери можуть дозволяти змінювати й інші параметри, наприклад, асиметрію. Кожен із цих параметрів описує певний аспект кривої відгуку в цілому, в усьому діапазоні частот. Натомість має окремі регулятори рівнів для різних частотних смуг, кожен з яких впливає лише на конкретну смугу. Коли просять уявити графік залежності y = ax2, зазвичай уявляють діапазон значень x, але лише одне значення a. Звісно, можна взяти інше значення a, що породить інший зв'язок між x і y. Отже, a є параметром: він менш змінний, ніж змінні x або y, але водночас не є явною сталою, як показник степеня 2. Точніше, зміна параметра a задає іншу (хоч і споріднену) задачу, тоді як зміни змінних x і y (та їхній взаємозв'язок) є частиною самої задачі. Під час обчислення доходу на основі ставки оплати та відпрацьованих годин (дохід дорівнює добутку ставки оплати на кількість відпрацьованих годин) зазвичай вважають, що кількість годин легко змінюється, тоді як ставка оплати є більш сталою. Це робить ставку оплати параметром, кількість відпрацьованих годин — незалежною змінною, а дохід — залежною змінною.
Математичні моделі У контексті математичної моделі, наприклад розподілу ймовірностей, розрізнення між змінними та параметрами Бард описував так: Ми називаємо моделью співвідношення, які нібито описують певну фізичну ситуацію. Зазвичай модель складається з одного або кількох рівнянь. Величини, що входять до рівнянь, ми поділяємо на змінні та параметри. Різниця між ними не завжди є чітко окресленою і часто залежить від контексту, в якому ці величини з'являються. Зазвичай модель створюють для пояснення зв'язків, що існують між величинами, які можна незалежно виміряти в експерименті; це і є змінні моделі. Однак для формулювання цих зв'язків часто вводять «константи», які представляють притаманні природі властивості (або властивості матеріалів та обладнання, використаних у конкретному експерименті). Це і є параметри.
Аналітична геометрія
В аналітичній геометрії криву можна описати як образ функції, аргумент якої, зазвичай званий параметром, належить деякому дійсному інтервалу.
Наприклад, одиничне коло можна задати двома способами:
неявна форма: крива є геометричним місцем точок у декартовій площині, що задовольняють співвідношення параметрична форма: крива є образом функції де параметр Як параметричне рівняння це можна записати так:Параметр у цьому рівнянні в інших розділах математики називали б незалежною змінною.
Математичний аналіз У математичному аналізі часто розглядають інтеграли, що залежать від параметра. Вони мають вигляд
У цій формулі t є аргументом функції F, а в правій частині — параметром, від якого залежить інтеграл. Під час обчислення інтеграла t вважають сталою величиною, тому його розглядають як параметр. Якщо ж нас цікавить значення F для різних значень t, тоді t розглядають як змінну. Величина x є фіктивною змінною або змінною інтегрування (що, дещо плутанно, інколи також називають параметром інтегрування).
Статистика та економетрика
У статистиці та економетриці наведена вище ймовірнісна схема зберігається, однак увага зміщується на оцінювання параметрів розподілу на основі спостережуваних даних або на перевірку гіпотез щодо цих параметрів. У частотному підході параметри вважаються «фіксованими, але невідомими», тоді як у байєсівському підході їх трактують як випадкові величини, а їхню невизначеність описують за допомогою розподілу.
В теорії оцінювання у статистиці терміни «статистика» або оцінювач стосуються вибірок, тоді як «параметр» або стосуються генеральних сукупностей, з яких ці вибірки взято. Статистика — це числова характеристика вибірки, яку можна використати як оцінку відповідного параметра, тобто числової характеристики генеральної сукупності, з якої отримано вибірку.
Наприклад, (оцінювач), що позначається , може бути використане як оцінка параметра середнього значення (оцінюваної величини), що позначається μ, генеральної сукупності, з якої взято вибірку. Аналогічно, дисперсія вибірки (оцінювач), що позначається S2, може використовуватися для оцінювання параметра дисперсії (оцінюваної величини), що позначається σ2, відповідної генеральної сукупності. (Зауважимо, що вибіркове стандартне відхилення (S) не є незміщеною оцінкою стандартного відхилення генеральної сукупності (σ): див. .)
Статистичні висновки можна робити і без припущення про належність даних до певної параметричної родини розподілів імовірностей. У такому разі говорять про на відміну від щойно описаної . Наприклад, тест, заснований на коефіцієнті рангової кореляції Спірмена називають непараметричним, оскільки статистика обчислюється за рангами даних, ігноруючи їхні фактичні значення (а отже, незалежно від розподілу, з якого їх отримано). Натомість тести, засновані на коефіцієнті кореляції Пірсона є параметричними, оскільки він обчислюється безпосередньо з числових значень даних і тим самим оцінює параметр, відомий як кореляція генеральної сукупності.
Теорія ймовірностей В теорії ймовірностей розподіл випадкової величини можна описувати як такий, що належить до родини розподілів імовірностей, які відрізняються між собою значеннями скінченного числа параметрів. Наприклад, говорять про «розподіл Пуассона із середнім значенням λ». Функція, що визначає цей розподіл (функція маси імовірності), має вигляд:
Цей приклад наочно ілюструє різницю між константами, параметрами та змінними. Число e — це число Ейлера, фундаментальна математична константа. Параметр λ — це середня кількість спостережень деякого явища, тобто характеристика, притаманна системі. k є змінною — у цьому випадку це кількість появ явища, фактично зафіксована в конкретній вибірці. Якщо ми хочемо дізнатися ймовірність спостереження k1 появ, ми підставляємо це значення у функцію й отримуємо . Не змінюючи систему, можна брати багато вибірок, у яких k набуватиме різних значень, але система завжди характеризуватиметься тим самим λ.
Наприклад, припустімо, що ми маємо радіоактивний зразок, який у середньому випромінює п'ять частинок за кожні десять хвилин. Ми вимірюємо кількість частинок, які зразок випромінює протягом кожного десятихвилинного інтервалу. Результати вимірювань дають різні значення k, і якщо зразок підкоряється пуассонівській статистиці, то кожне значення k з'являтиметься з частотою, заданою наведеною вище функцією маси ймовірності. Водночас від вимірювання до вимірювання λ залишається сталою і дорівнює 5. Якщо ми не змінюємо систему, параметр λ не змінюється; якщо ж ми модифікуємо систему, наприклад замінюємо зразок на більш радіоактивний, тоді значення λ зросте.
Іншим поширеним розподілом є нормальний розподіл, параметрами якого є середнє значення μ та дисперсія σ².
У наведених прикладах розподіли випадкових величин повністю визначаються типом розподілу (пуассонівський чи нормальний) і значеннями параметрів (наприклад, середнім та дисперсією). У такому разі говорять про параметризований розподіл.
Як параметри ймовірнісного розподілу також можна використовувати послідовність моментів (середнє, середній квадрат тощо) або (середнє, дисперсія тощо); див. Статистичний параметр.
Комп'ютерне програмування