Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.
Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.
Визначення Ермітова матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:
(для ермітових матриць — завжди дійсне число). Всі власні значення є додатними числами. Задовольняє критерій Сильвестра. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).
Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці
Ермітова матриця називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо
Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.
Ермітова матриця називається від'є́мно ви́значеною, якщо
Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.
Невизначена Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.
Властивості Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця. Для будь-якої матриці , матриці — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.
Якщо — додатньо визначені матриці і — додатне число, тоді матриці — також є додатньо визначеними матрицями. І якщо (є переставними), тоді — теж є додатньо визначеною. Якщо — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.
Див. також Визначена матриця — трішки більш загальне поняття. Теорія матриць Нормальна матриця Полярний розклад матриці
Джерела