Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.
Матриця, псевдообернена до матриці позначається як .
Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.
Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.
Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.
Визначення
Означення Мура називається псевдооберненою матрицею до матриці , якщо вона задовольняє такі умови:
( чи не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
(це означає, що — ермітова матриця); ( — також ермітова матриця);
де — ермітово-спряжена матриця до матриці .
Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід
Ці границі існують, навіть якщо і не комутують.
Властивості Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина. Псевдообернення нульової матриці дорівнює її транспонуванню. Псевдообернення є оборотним до самого себе: . Псевдообернення комутує з транспонуванням, спряженням і ермітовим спряженням:
Ранг матриці дорівнює рангу її псевдооберненої:
Псевдообернення добутку матриці на скаляр дорівнює добутку матриці на обернене число : . Якщо вже відома матриця чи матриця , то їх можна використати для обчислення :
. Матриці — є ортогонально-проєкційними матрицями. Якщо матриця утворена з матриці за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію, то буде утворюватись з додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію. Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим , то існує формула Гревіля для вираження через
Часткові випадки
Ортонормовані стовпці чи рядки Якщо в матриці ортонормовані стовпці (), або рядки (), то: .
Повний ранг Якщо стовпці матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
Отже , звідки слідує, що — ліва обернена матриця для A.
Якщо рядки матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
Отже , звідки слідує, що — права обернена матриця для A.
Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:
Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.
Псевдообернення добутку Якщо матриці і такі, що добуток визначений, а також: або A має ортонормовані стовпці (), або B має ортонормовані рядки (), або стовпці лінійно незалежні() і рядки лінійно незалежні(). Тоді: .
Доводиться прямою підстановкою в визначення.
Скаляри і вектори Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:
Псевдообернення скаляра є скаляр
Псевдообернення вектора є вектор
Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.
Обчислення
За допомогою A=BC розкладу Нехай r — ранг матриці A розміру . Тоді A може бути представлена як , де B — матриця розміру , C — матриця розміру . Тоді
чи
де — матриця меншого розміру .
За допомогою QR розкладу Матрицю A представимо у вигляді , де Q — унітарна матриця, , і R — верхня трикутна матриця. Тоді ,
…
За допомогою SVD розкладу Якщо — сингулярне представлення матриці A, тоді
Для діагональної матриці, такої як , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.
За допомогою мінорів Нехай k — ранг матриці A розміру .
Позначимо через матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A, через позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A, через матрицю з елементів на перетині з .
Тоді
Застосування до СЛАР Система рівнянь може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі при яких мінімізується Це розв'язок методом найменших квадратів.
Загальний розв'язок системи є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи
За визначенням, загальний розв'язок системи — це ядро лінійного оператора :
де: (проектор на ); — довільний вектор тієї ж розмірності що і
Частковим розв'язком неоднорідної системи є він ортогональний до і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
Загальний розв'язок {| border="1" cellpadding="10" | | єдиний розв'язок | множина розв'язків |- | точні розв'язки є | rowspan=2 | | rowspan=2 | |- | тільки приблизні розв'язки
Відстань від довільної точки до множини розв'язків рівна:
де: (проектор ортогональний до ).
Джерела