Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.
Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею ( — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел (). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці . Наведемо приклади:
Трикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел .
Квадратні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел .
П'ятикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел .
Шестикутні числа. Різниця приводить нас до суми , часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел .
Інколи визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд .
Формула Якщо — кількість сторін у многокутнику, формула -го -кутного числа наступна:
,
або .
-те -кутного число також пов'язане з трикутними числами таким чином:
Звідси
Для заданого -кутного числа можна знайти та за допомогою формул:
,
.
Кожне шестикутне число є трикутним числом Застосовуючи формулу наведену вище, маємо
.
Якщо сторін 6, то ,
але оскільки ,
то звідси випливає, що .
Отже, кожне -те шестикутне число також є -м трикутним числом . Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …
Таблиця значень Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції. НазваФормула Сума обернених значень OEIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103Трикутні 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 2A0002174Квадратні 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 A0002905П'ятикутні 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 A0003266Шестикутні 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 A0003847 Семикутні 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 A0005668 Восьмикутні 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 A0005679 Дев'ятикутні 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325A00110610 Десятикутні 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 A00110711 11-кутні 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415A0516821212-кутні 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A05162413 13-кутні 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A05186514 14-кутні 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 A05186615 15-кутні 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A05186716 16-кутні 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A05186817 17-кутні 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A05186918 18-кутні 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 A05187019 19кутні 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A05187120 20-кутні 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A05187221 21-кутні 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A05187322 22-кутні 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A05187423 23-кутні 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A05187524 24-кутні 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...10000 10000-кутні 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 A167149
Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).
Властивість цієї таблиці виражена наступною тотожністю (див. A086270 ) :
де
Чи є число багатокутним Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число , потрібно визначити чи є воно багатокутним числом і якщо так, то для яких значень , . Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:. Випишемо всі натуральні дільники числа (включаючи та ). Випишемо всі натуральні дільники числа . З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають . Для кожного вибраного обчислюємо . Відкинемо пари , де .
Відповідно, всі пари , що залишилися, рівні .
Приклад 1. Нехай . Дільники : . Дільники : . Виписуємо . Відповідно . Останнє значення відкинемо.
Відповідь: зустрічається як , , , , тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.
Задача 2. Дано натуральне число , потрібно визначити чи є воно -кутним числом . На відміну від попередньої задачі, тут задано. Для розв'язку можна використати тотожністю Діофанта: .
Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для . З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо є -кутне число, тобто для деякого , то — це деяке квадратне число і навпаки. При цьому номер знаходиться за формулою
.
Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення тут рівне , тому задане число є 10-кутним. , отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.
Твірна функція Степеневий ряд, коефіцієнти якого -кутні числа, збігається при :
.
Вираз справа є твірною функцією для послідовності -кутних чисел.
Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу -кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:
При : ,
при : ,
при : .
Див. також Фігурні числа Центровані багатокутні числа Теорема Ферма про багатокутні числа
Примітки
Література The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) []. Polygonal numbers at PlanetMath
Посилання
Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337
Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853