Теорія поля на ґратці — це галузь теоретичної фізики, зокрема квантової теорії поля, що вивчає теорії поля визначені на просторових або просторово-часових ґратках.
Теоретичний опис основних складових матерії та взаємодія між ними базується на квантовій теорії поля. Основними елементами теорії поля є поля. Вони є функціями кожної точки часу-простору
У випадку класичних теорій поля, зазвичай є елементом дійсного чи комплексного многовиду скінченної розмірності, котрий в більшості випадків є лінійним простором. Наприклад:
дійсне скалярне поле комплексне скалярне поле -векторне поле безмасове (фотонне) поле де лоренцівські індекси, поля Янга-Міллса компонентами якого є елементи алгебри Лі компактної групи Лі з генераторами
З іншого боку, в операторному формалізмі квантової теорії поля є операторами, що діють в гільбертовому просторі. (Якщо точніше, квантові поля є операторозначними розподілами, що означає, що їхні інтеграли з відповідними тестовими функціями є операторами.)
Фізичний зміст теорії поля суттєво залежить від її Лагранжіану котрий є функцією і її похідних. Лагранжіан визначає польові рівняння, які складають взаємодії. Якщо сила взаємодії визначається малим параметром отже можливо приблизно обчислити фізичні величини до певної точності в рамках теорії збурень, завдяки розкладу в степеневий ряд по Цей метод також застосовується, наприклад, в квантовій електродинаміці (КЕД), де величина взаємодії пропорційна сталій тонкої структури і багато спостережуваних величин можуть бути отримані у вигляді степеневого ряду по Але існують випадки, де теорія збурень виявилася незастосовною для обчислень фізичних величин. Найбільш вагомим прикладом є низькоенергетичний режим квантової хромодинаміки (КХД) — теорії сильної взаємодії елементарних частинок.
Не лише квантова хромодинаміка, а й інші складові Стандартної Моделі елементарних частинок та її розширення складають низку проблем, що не розв'язуються теорією збурень. Один з важливих кроків до вирішення цієї проблеми був зроблений Вільсоном у 1974 (Wilson, 1974). Він запропонував формулювання Квантової хромодинаміки на просторово-часовій ґратці, що дозволило обійтися без теорії збурень. Ця дискретизація буде описана детальніше далі. Такий підхід дозволив сформулювати ряд чітко визначених математичних проблем які, в принципі, мають розв'язок. Також треба звернути увагу на те, що впровадження просторово-часової ґратки може розглядатися як початкова точка математично чіткого формулювання квантової теорії поля, відомої як .
В сучасній квантовій теорії поля впровадження просторово-часової ґратки є іншим підходом на противагу операторному формалізму. Це теорія поля на ґратці. Її основними складовими є: інтеграли по конфігураціям полів Евклідова теорія поля просторово-часова дискретизація полів.
Теорія поля на ґратці виявилася успішною для обчислень фізичних величин у випадку, де теорія збурень була незастосовною. В цій статті наведено загальний огляд формулювання та методів Теорії поля на ґратці. Основні моменти проілюстровані на прикладі скалярної теорії поля.
Квантова теорія поля у формалізмі функціонального інтегралу
Формулювання Квантової теорії поля через функціональний інтеграл є узагальненням квантово-механічного інтегралу по шляхах. В квантовій механіці амплітуда переходу точкової частинки в одновимірному просторі визначена, як:
де власний (невідповідний) стан оператора координати і гамільтонів оператор.
Амплітуда переходу може бути записана через інтеграл по шляхам, як
де інтегрування відбувається по всім можливим траєкторіям від до протягом часового інтервалу і
є класичною дією для такої траєкторії.
Формально, міра інтегралу по шляхам визначається, як
з точністю до нормалізаційного фактору. Для частинки в 3-х вимірному просторі цей вираз узагальнюється до траєкторій де =1,2,3, і
Це, мабуть, найбільш інтуїтивна ілюстрація квантово-механічної амплітуди переходу. Вона визначається як інтеграл вкладів всіх можливих шляхів від початкової до кінцевої точок з ваговим множником визначеним класичною дією, котра відповідає кожному конкретному шляху.
Для більш детального і математично акуратного формулювання інтегралів по шляхам читача може зацікавити підручник (Glimm and Jaffe, 1987).
Формулювання квантової механіки через інтеграл по шляхам може бути використано для побудови теорії поля. Розглянемо скалярне поле де позначає просторово-часові координати, а еволюція в часі визначається як
В теорії поля основними об'єктами досліджень є вакуумні значення дії (часовпорядкованих) польових операторів, функції Гріна:
Важливим прикладом є пропагатори
Функції Гріна, по суті, містять всю фізичну інформацію. Як от елементи S-матриці пов'язані з функціями Гріна, наприклад, у випадку двочастинкового розсіяння можуть бути отримані як
Замість того, щоб розглядати квантову теорію поля у формулюванні функціонального інтегралу з самого початку, ми обмежимося переходом від квантово-механічного підходу до теорії поля шляхом розгляду аналогій. В цьому випадку основні змінні переходять в поля Правила переходів:
де класична дія.
Для скалярної дії можна розглянути наступний Лагранжіан з густиною
Маса і стала взаємодії мають індекс оскільки вони є ненормалізованими параметрами. Ця теорія лежить в основі моделі Хіггса-Юкави, де поле Хіггса.
За аналогією до квантово-механічного інтегралу по шляхам, представлення функцій Гріна через функціональний інтеграл визначається як
де Цей інтеграл включає по всім конфігураціям класичних полів.
Як зазначалося вище, ми не вдавалися до виведення функціонального інтегралу, а лише сформулювали його за аналогією. Більше того, ми перейшли від квантово-механічної амплітуди переходу до функції Гріна, що, загалом, має дещо інший зміст.
Формулювання функціонального інтегралу викликає ряд запитань. По-перше, як утворюється проєкція на основний стан ? По-друге, ці інтеграли містять осцилюючі підінтегральні елементи за рахунок уявних експонент; як на рахунок збіжності? На останок, чи можливо їх обчислювати чисельно?
Далі буде викладено, яким чином впровадження уявного часу допомагає дати відповідь на ці запитання.
Евклідова теорія поля
В рамках квантової механіки теж можна сформулювати функції Гріна, наприклад:
де оператор координати в представленні Гейзенберга. Далі буде продемонстровано, що такі функції Гріна пов'язані з квантово-механічною амплітудою переходу в комплексному часі через аналітичне продовження. Розглянемо матричний елемент
де Тепер нехай всі часи розглянемо суто комплексними
впорядковані як Це приводить до виразу
Підставляючи набір власних станів енергій, отримуємо розклад оператора часової еволюції в комплексному часу
де основний енергетичний стан віднормовано до Для великих спрощується до проектора на основний стан. Отже, в границі і отримуємо матричний елемент
і, аналогічно,
Тому функції Гріна в комплексному часі,
можуть бути виражені як
Тепер знаменник, як і чисельник, можуть бути сформульовані через інтеграли по шляхам. Відмінність випадку комплексного часу від дійсного полягає в тому, що тепер має використовуватися
Це приводить до формулювання через інтеграли по шляхам
де і
Функції Гріна в дійсному часі, в яких було зацікавлення початково, може бути отримано з через аналітичне продовження,
Аналітичне продовження має бути виконано таким чином, щоб всі часові аргументи чергувалися одночасно проти годинникової стрілки на комплексній -площині. Це так званий поворот Віка, проілюстрований на зображенні.
Повертаючись до теорії поля, функції Гріна
продовжені до комплексного часу, є так званими .
За аналогією з випадком квантової механіки, їх формулювання через функціональні інтеграли
де і
Як можна побачити з кінетичної частини метрика простору Мінковського
переходить в
що є Евклідовою метрикою. Саме тому такі об'єкти називають Евклідовими функціями Гріна і Евклідовими функціональними інтегралами. Вони є початковими елементами дослідження незбурюваних теорій поля.
Чи можливий подальший розгляд певної теорії поля аналітично при переході від дійсного часу до комплексного і навпаки залежить від ряду необхідних критеріїв. Для великого класу теорій поля ці умови були проаналізовані і сформульовані в роботах Osterwalder і Schrader, див. (Osterwalder and Schrader, 1973, 1975). Наприклад, Евклідова теорія поля має задовольняти так званому критерію reflection positivity щоб мати відповідну теорію поля у просторі Мінковського.
Оскільки дійсна, шукані інтеграли тепер дійсні і не мають неприємних осцилюючих складників. Більш того, оскільки обмежена знизу, фактор в інтегралі теж обмежений. Сильно флуктуюючі поля дають велике значення Евклідової дії , а отже подавляють фактор (Строго кажучи, це твердження не має сенсу якщо не брати до уваги ренормалізацію.) Це робить Евклідові інтеграли більш привабливими в порівнянні з Міньковськими аналогами.
На перший погляд, в Евклідовому формалізмі всі величини нефізичні і немає можливості напряму отримати фізичні результати з Евклідових функцій Гріна. Але це не так. Наприклад, спектр в рамках теорії може бути отриманий наступним чином. Розглянемо вакуумне значення в наступному вигляді
де формуються з полів наприклад як, або Тепер підставимо набір власних станів енергій, аналогічно до раніше розглянутого випадку,
У випадку неперервного спектра суму варто трактувати як інтеграл. З іншого боку формулювання вакуумного значення через функціональний інтеграл приводить до
Це схоже до проєкції основного стану на початку цього розділу. Для великих найнижчий власний стан енергії домінуватиме в сумі. Отже можна отримати нижню частину спектра з асимптотичної поведінки цього вакуумного значення. Обираючи зручним чином, наприклад, для
таким щоб для одночастинкового стану з нульовим моментом і масою можна отримати
що робить можливим знаходження маси частинки.
Надалі ми продовжимо працювати в Евклідовому просторі і знехтуємо індексом маючи на увазі Евклідову дію.
Дискретизація ґраткою
Одне з основних питань все ще залишається відкритим: чи інтегрування нескінченної розмірності по всім конфігураціям класичних полів, наприклад
має сенс взагалі? Як воно визначене?
В квантовій механіці формулювання інтегралу по шляхам може бути виведено як границя дискретизації в часі. В теорії поля, поля залежать від Евклідової координати замість однієї часової і просторових координати. Ми можемо ввести дискретизований простір-час у вигляді ґратки, наприклад гіперкубічної, визначеної як
Величина називається періодом ґратки. Варто звернути увагу, що, будучи розмірним параметром, період ґратки не є параметром дискретизованої теорії, котрий міг би бути використаний в комп'ютерній програмі для обчислення інтегралів по шляхам. Період ґратки у фізичних одиницях є обчислюваною величиною, що визначається динамікою моделі. Це буде детальніше описано в секції «Неперервна границя».
Скалярне поле тепер визначене лише на вузлах ґратки. Розглянемо приклад теорії в розмірності . Частинні похідні заміняються скінченними різницями
а просторово-часові інтеграли заміняються сумуванням:
Дія дискретизованої -теорії може бути записана як
У функціональному інтегралі міра тепер включає лише вузли ґратки . Отже набір дискретних змінних має інтегруватися. Якщо ґратка є скінченною тоді й інтеграл має скінченну розмірність.
Дискретизація простору-часу з використанням ґратки має один дуже важливий наслідок. Завдяки ненульовому періоду ґратки виникає відсічення в просторі імпульсів. Воно може спостерігатися при Фур'є перетворенні поля
Фур'є образ поля періодичний в просторі імпульсів, щоб можна було визначити
і обмежити імпульс до першої зони Брілюена
Обернене перетворення Фур'є, наприклад, визначається як
Тут можна впізнати ультрафіолетове відсічення
Отже теорії поля на ґратці регуляризується природнім чином.
Почнемо з розгляду скінченної ґратки для збереження чітких означень. Розглянемо гіперкубічну ґратку з періодом в кожній просторовій розмірності і з довжиною в Евклідовому часі,