Правильногранний многогранник — це опуклий многогранник, кожна грань якого є правильним многокутником.
Правильногранний многогранник називають тілом Джонсона або многогранником Джонсона, якщо він не є ні платоновим тілом (правильним многогранником), ні архімедовим, ні призмою, ні антипризмою.
Прикладом тіла Джонсона є піраміда з квадратною основою і бічними гранями у вигляді правильних трикутників (J1(М2)). Вона має 1 квадратну грань і 4 трикутних.
Як і в кожного строго опуклого тіла, в цих многогранників до кожної вершини примикає щонайменше три грані і сума їхніх кутів (прилеглих до вершини) менша від 360º. Оскільки правильні многокутники мають кути щонайменше 60º, до вершини можуть прилягати максимум п'ять граней. П'ятикутна піраміда (J2) є прикладом, у якому є вершина п'ятого порядку (тобто з п'ятьма гранями).
Хоча немає явного обмеження на правильні многокутники, які можуть служити гранями тіл Джонсона, насправді грані можуть мати тільки 3, 4, 5, 6, 8 або 10 сторін, причому трикутні грані (не менше чотирьох) має будь-яке з тіл Джонсона.
Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол (J37), який називають також псевдоромбокубооктаедромPseudo Rhombicuboctahedra. єдиний з тіл Джонсона має властивість локальної вершинної однорідності — в кожній вершині сходяться 4 грані і їхнє розташування однакове — 3 квадрати і 1 трикутник. Однак тіло вершинно-транзитивним не є, оскільки має різну ізометрію в різних вершинах, що й робить його тілом Джонсона, а не архімедовим тілом.
Історія 1966 року опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви й номери. Він висловив гіпотезу, що їх тільки 92, тобто інших немає.
Раніше, 1946 року Л. Н. Єсаулова надіслала О. Д. Александрову листа, в якому довела, що правильногранних многогранників (крім 5 правильних многогранників, 13 напівправильних і двох нескінченних серій (призм та антипризм) може існувати лише скінченне число. 1961 року Александров передав цього листа , можливо через нотатки Джонсона 1960 року. 1967 року Залгаллер опублікував доведення того, що список Джонсона повний. До виконання було залучено групу школярів школи № 239. Повне доведення зайняло близько 4 років з залученням комп'ютерної техніки. В доведенні також істотно використовувалась теорема Александрова про опуклі многогранники.
Термінологія Назви тіл Джонсона мають велику описову здатність. Більшість цих тіл можна побудувати з кількох тіл (пірамід, куполів і ротонд), додаючи платонові і архімедові тіла, призми й антипризми.
Бі- означає, що дві копії тіл з'єднані основами. Для куполів і ротонд вони можуть бути з'єднані гранями одного типу (прямі) або різних (повернуті). Октаедр, наприклад, є квадратною біпірамідою, кубооктаедр — повернутим трикутним бікуполом, а ікосододекаедр — повернутою п'ятикутною біротондою. Подовжений означає, що до тіла приєднано призму або її вставлено між двома частинами тіла. Ромбокубооктаедр, наприклад, є подовженим квадратним прямим куполом. Скручений подовжений означає, що до тіла приєднано антипризму або її вставлено між двома частинами тіла. Ікосаедр, наприклад, є скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою. Нарощений означає, що піраміда або купол приєднані до грані тіла. Відсічений означає, що піраміду або купол відрізано від тіла. Скручений означає, що купол, який належить многограннику, повернуто так само, як у повернутих бікуполах.
Останні три операції — нарощення, відсікання і поворот — на досить великих многогранниках можуть бути виконані більше одного разу. Для операцій, здійснених два рази, додається двічі. (Двічі скручене тіло має два повернутих куполи.) Для операцій, виконаних три рази, додається тричі. (У тричі відсіченого тіла видалено три піраміди або куполи.)
Іноді слова двічі недостатньо. Необхідно відрізняти тіла, в яких змінено дві протилежні грані від тіл, в яких змінено інші грані. Коли змінені грані паралельні, до назви додається протилежно. (Двічі протилежно нарощене тіло має дві паралельні грані (протилежні) з доданими тілами.) Якщо ж зміни стосуються граней, які не є протилежними, до назви додається, косо. (Двічі косо нарощене тіло має дві грані з доданими тілами, але ці грані не протилежні.)
Кілька назв походять від многокутників, з яких зібрано тіло Джонсона.
Якщо визначити місяць як групу з двох трикутників, приєднаних до квадрата, слово клинокорона відповідає клиноподібній короноподібній групі, утвореній двома місяцями. Слово двоклиноїд або двоклинник означає дві такі групи.
У цій статті використовуються назви зі статті Залгаллера. Разом з номерами многогранників, даними Джонсоном, у дужках наведено складений номер зі статті Залгаллера. У цьому складеному номері
Пn позначає призму з n-кутною основою. Аn позначає антипризму з n-кутною основою. Мn позначає тіло з індексом n (тобто в цьому випадку тіло будується на основі іншого тіла). Підкреслення означає поворот тіла.
Зауваження: Мn не збігається з Jn. Так, квадратна піраміда J1(М2) має індекс 1 у Джонсона і індекс 2 у Залгаллера.
Список
Піраміди Перші два тіла Джонсона, J1 і J2, є пірамідами. Трикутна піраміда є правильним тетраедром, тобто не є тілом Джонсона. +ПірамідиПравильніJ1(М2)J2(М3)Трикутна піраміда (тетраедр)Квадратна пірамідаП'ятикутна піраміда
Куполи й ротонди Наступні чотири многогранники — три куполи й одна ротонда. КуполиРотондиОднорідніJ3(М4)J4(М5)J5(М6)J6(М9)Трикутна призмаТрисхилий куполЧотирисхилий куполП'ятисхилий куполП'ятисхила ротондаПов'язані однорідні многогранникиКубооктаедрРомбокубооктаедрРомбоікосододекаедрІкосододекаедр
Подовжені і скручені подовжені піраміди Наступні п'ять многогранників Джонсона є подовженими і скрученими подовженими пірамідами. Їх отримують склеюванням двох многогранників. У разі скрученої подовженої трикутної піраміди три пари суміжних трикутників копланарні, тобто тіло не є многогранником Джонсона. (або нарощені призми)(або нарощені антипризми)J7(М1+П3)J8(М2+П4)J9(М3+П5)КопланарнаJ10(М2+А4)J11(М3+А5)Подовжена трикутна пірамідаПодовжена чотирикутна пірамідаПодовжена п'ятикутна пірамідаСкручена подовжена трикутна пірамідаСкручена подовжена чотирикутна пірамідаСкручена подовжена п'ятикутна пірамідаНарощена трикутна призмаНарощений кубНарощена п'ятикутна призмаНарощений октаедрНарощена квадратна антипризмаНарощена п'ятикутна антипризмаУтворені з многогранниківТетраедрТрикутна призмаКвадратна пірамідаКубП'ятикутна пірамідаП'ятикутна призмаТетраедрОктаедрКвадратна пірамідаКвадратна антипризмаП'ятикутна пірамідаП'ятикутна антипризма
Біпіраміди Наступними многогранниками Джонсона є біпіраміди, і : БіпірамідиJ12(2М1)ПравильнаJ13(2М3)J14(М1+П3+М1)J15(М2+П4+М2)J16(М3+П5+М3)КопланарнаJ17(М2+А4+М2)ПравильніТрикутна біпірамідаКвадратна біпіраміда(октаедр)П'ятикутна біпірамідаПодовжена трикутна біпірамідаПодовжена чотирикутна біпірамідаПодовжена п'ятикутна біпірамідаСкручена подовжена трикутна біпіраміда (ромбоедр)Скручена подовжена чотирикутна біпірамідаСкручена подовжена п'ятикутна біпіраміда (ікосаедр)Утворені з многогранниківТетраедрКвадратна пірамідаП'ятикутна пірамідаТетраедрТрикутна призмаКвадратна пірамідаКубП'ятикутна пірамідаП'ятикутна призмаТетраедрОктаедрКвадратна пірамідаКвадратна антипризмаП'ятикутна пірамідаП'ятикутна антипризма
Подовжені куполи та ротонди Подовжена ротондаСкручена подовжена ротондаКопланарніJ18(М4+П6)J19(М5+П8)J20(М6+П10)J21(М9+П10)УвігнутіJ22(М4+А6)J23(М5+А8)J24(М6+А10)J25(М9+А10)Подовжений двосхилий куполПодовжений трисхилий куполПодовжений чотирисхилий куполПодовжений п'ятисхилий куполПодовжена п'ятисхила ротондаСкручений подовжений двосхилий куполСкручений подовжений трисхилий куполСкручений подовжений чотирисхилий куполСкручений подовжений п'ятисхилий куполСкручена подовжена п'ятисхила ротондаУтворені з многогранниківКвадратна призмаТрикутна призмаШестикутна призмаТрисхилий куполВосьмикутна призмаЧотирисхилий куполДесятикутна призмаП'ятисхилий куполДесятикутна призмаП'ятисхила ротондаТрикутна призмаШестикутна антипризмаТрисхилий куполВосьмикутна антипризмаЧотирисхилий куполП'ятисхилий куполП'ятисхила ротонда
Бікуполи Повернуті трикутні бікуполи є напівправильними многогранниками (в цьому випадку — архімедовими тілами), тобто вони не належать до класу многогранників Джонсона. Прямі куполиПовернуті куполиКопланарнийJ27(2М4)J28(2М5)J30(2М6)J26(П3+П3)НапівправильнийJ29(М5+М5)J31(М6+М6)Двосхилий прямий бікуполТрисхилий прямий бікуполЧотирисхилий прямий бікуполП'ятисхилий прямий бікуполДвосхилий повернутий бікупол (гіробіфастигіум)Трикутний повернутий бікупол (кубооктаедр)Чотирисхилий повернутий бікуполП'ятисхилий повернутий бікуполУтворені з многогранників
Куполоротонди і біротонди КуполоротондиБіротондиJ32(М6+М9)J33(М6+М9)J34(2М9)НапівправильнаП'ятисхила пряма куполоротондаП'ятисхила повернута куполоротондаП'ятисхила пряма біротондаП'ятисхила повернута біротонда(ікосододекаедр)Утворені з многогранниківП'ятисхилий куполП'ятисхила ротондаП'ятисхила ротонда
Подовжені бікуполи КопланарнийJ35(М4+П6+М4)НапівправильнийJ38(М6+П10+М6)КопланарнийJ36(М4+П6+М4)J37(М5+П8+М5)J39(М6+П10+М6)Подовжений двосхилий прямий бікуполПодовжений трисхилий прямий бікуполПодовжений квадратний прямий бікупол(ромбокубооктаедр)Подовжений п'ятисхилий прямий бікуполПодовжений двосхилий повернутий бікуполПодовжений тисхилий повернутий бікуполПодовжений чотирисхилий повернутий бікуполПодовжений п'ятисхилий повернутий бікупол
Подовжені куполоротонди і біротонди Подовжені куполоротондиПодовжені біротондиJ40(М6+П10+М9)J41(М6+П10+М9)J42(М9+П10+М9)J43(М9+П10+М9)Подовжена п'ятисхила пряма куполоротондаПодовжена п'ятисхила повернута куполоротондаПодовжена п'ятисхила пряма біротондаПодовжена п'ятисхила повернута біротонда
Скручені подовжені бікуполи, куполоротонди і біротонди антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є многогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників. Скручена подовжена куполоротондаСкручена подовжена біротондаНеопукліJ44(М4+А6+М4)J45(М5+А8+М5)J46(М6+А10+М6)J47(М6+А10+М9)J48(М9+А10+М9)Скручений подовжений двосхилий бікуполСкручений подовжений трисхилий бікуполСкручений подовжений чотирисхилий бікуполСкручений подовжений п'ятисхилий бікуполСкручена подовжена п'ятисхила куполоротондаСкручена подовжена п'ятисхила біротондаУтворені з многогранниківТрикутна призмаКвадратна антипризмаТрисхилий куполШестикутна антипризмаЧотирисхилий куполВосьмикутна антипризмаП'ятисхилий куполП'ятисхилий куполП'ятисхила ротондаП'ятисхила ротонда
Нарощені трикутні призми J7(М1+ П3)(повторно)J49(П3+М2)J50(П3+2М2)J51(П3+3М2)Подовжена трикутна пірамідаНарощена трикутна призмаДвічі нарощена трикутна призмаТричі нарощена трикутна призмаУтворені з многогранниківТрикутна призмаТетраедрТрикутна призмаКвадратна піраміда
Нарощені п'ятикутні і шестикутні призми Нарощені п'ятикутні призмиНарощені шестикутні призмиJ52(П5+М2)J53(П5+2М2)J54(П6+М2)J55(М2+П6+М2)J56(П6+2М2)J57(П6+3М2)Нарощена п'ятикутна призмаДвічі нарощена п'ятикутна призмаНарощена шестикутна призмаДвічі протилежно нарощена шестикутна призмаДвічі косо нарощена шестикутна призмаТричі нарощена шестикутна призмаУтворені з многогранниківП'ятикутна призмаКвадратна пірамідаШестикутна призмаКвадратна піраміда
Нарощені додекаедри ПравильнийJ58(М15+М3)J59(М3+М15+М3)J60(М15+2М3)J61(М15+3М3)ДодекаедрНарощений додекаедрДвічі протилежно нарощений додекаедрДвічі косо нарощений додекаедрТричі нарощений додекаедрУтворені з многогранниківДодекаедр і п'ятикутна піраміда
Інші ПравильнийJ11(М3+А5)(повторно)J62(М7+М3)J63(М7)J64(М7+М1)ІкосаедрВідсічений ікосаедр(Скручена подовжена п'ятикутна піраміда)Двічі косо відсічений ікосаедрТричі відсічений ікосаедрНарощений тричі відсічений ікосаедрУтворені з многогранниківТричі відсічений ікосаедр, п'ятикутна піраміда і тетраедр
Нарощені зрізані тетраедри і куби J65(М10+М4)J66(М11+М5)J67(М5+М11+М5)Нарощений зрізаний тетраедрНарощений зрізаний кубДвічі нарощений зрізаний кубУтворені з многогранниківЗрізаний тетраедрТрисхилий куполЗрізаний кубЧотирисхилий купол
Нарощені зрізані додекаедри