Кубічний сплайн — гладка функція, область визначення якої розбито на скінченне число відрізків, на кожному з яких вона збігається з деяким кубічним многочленом.
Опис Функція задано на відрізку , розбитому на частини , . Кубічним сплайном дефекту 1 (різниця між степенем і гладкістю сплайна) називається функція , яка:
на кожному відрізку є многочленом степеня не вище від трьох; має неперервні першу і другу похідні на всьому відрізку ; в точках виконується рівність , тобто сплайн інтерполює функцію в точках .
Для однозначного задання сплайна перелічених умов недостатньо, для побудови сплайна необхідно накласти додаткові вимоги — граничні умови:
«Природний сплайн» — граничні умови виду: ; Неперервність другої похідної — граничні умови виду: ; Періодичний сплайн — граничні умови виду: і .
Теорема. Для будь-якої функції і будь-якого розбиття відрізка на частини існує рівно один природний сплайн , що задовольняє переліченим вище умовам.
Ця теорема є наслідком загальнішої теореми Шенберга — Вітні про умови існування інтерполяційного сплайна.
Побудова На кожному відрізку функція є многочленом третього степеня , коефіцієнти якого треба визначити. Запишемо для зручності у вигляді:
тоді
Умови неперервності всіх похідних до другого порядку включно записуються у вигляді
де змінюється від до а умови інтерполяції у вигляді
Позначимо
Звідси отримуємо формули для обчислення коефіцієнтів «природного сплайна»:
, причому і .
Якщо врахувати, що , то можна обчислити методом прогонки для тридіагональної матриці.
Примітки
Література
Посилання Інтерполяція кубічними сплайнами на JavaScript Cubic Interpolation