Конгруенц-дзета-функція — прототип для побудови важливої L-функції Гассе — Вейля, ряд вигляду
,
побудований на послідовності числа точок афінного або проєктивного многовиду у скінченних полях.
Локальна дзета-функція . Для неї існує аналог гіпотези Рімана.
Визначення Нехай — афінний або проєктивний многовид над скінченним полем . Конгруенц-дзета-функція многовиду над визначається як формальний степеневий ряд
,
де , а — число точок , що лежать у . Числа скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.
Локальною дзета-функцією називають функцію , тут — характеристика поля , — комплексна змінна.
Приклади Візьмемо рівняння , геометрично це означає, що — це просто точка. У цьому випадку всі . Тоді
Нехай — проєктивна пряма над . Якщо , то має точку: всі точки поля і нескінченну точку. Отже
Властивості
подається у вигляді нескінченного добутку
де пробігає всі замкнуті точки , а — степінь . У разі, якщо , яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності точок , де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем . Степінь — це степінь розширення поля , породженого координатами . Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку дорівнюваиме твірній функції
.
Якщо — еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює
Якщо , то збігається у відкритому крузі радіуса .
Якщо , причому — відповідні дзета-функції, то .
Якщо , то .
Застосування L-функція Гассе — Вейля визначається через конгруенц-дзета-функцію так:
Гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями Якщо — проєктивна неособлива крива над , то можна показати, що
де — многочлен степеня , де — рід кривої . Подамо
тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що
Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів дорівнює .
Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють . Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.
Загальні формули для дзета-функції Із формули сліду Лефшеца для морфізму Фробеніуса виходить, що
Тут — відділювана схема скінченного типу над скінченним полем , а — геометрична дія Фробеніуса на -адичній з компактним носієм . Це показує, що дана дзета-функція є раціональною функцією .
Див. також Дзета-функції Гіпотези Вейля Еліптична крива
Література