То́чки Наполео́на в геометрії — пара особливих точок на площині трикутника. Легенда приписує виявлення цих точок французькому імператору Наполеону I, однак його авторство сумнівне. Точки Наполеона належать до чудових точок трикутника і перераховані в Енциклопедії центрів трикутника як точки X(17) і X(18).

Назву «точки Наполеона» застосовують також до різних пар центрів трикутника, більш відомих як ізодинамічні точки.

Визначення точок Перша точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо зовнішні правильні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай центроїди цих трикутників — X, Y і Z відповідно. Тоді прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N1 є першою (або зовнішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають зовнішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник є правильним.

В Енциклопедії центрів трикутника першу точку Наполеона позначено як X(17).

Трилінійні координати точки N1:

Барицентричні координати точки N1:

Друга точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо внутрішні рівносторонні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай X, Y і Z — центроїди цих трикутників відповідно. Тоді прямі AX, BY а CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N2 є другою (або внутрішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають внутрішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник — правильний.

В енциклопедії центрів трикутника другу точку Наполеона позначено як X(18).

Трилінійні координати точки N2:

Барицентричні координати точки N2:

Дві точки, тісно пов'язані з точками Наполеона — це точки Ферма (X13 і X14 в енциклопедії точок). Якщо замість прямих, що з'єднують центроїди рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами, провести прямі, що з'єднують вершини рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, так побудовані три прямі будуть перетинатися в одній точці. Точки перетину називають точками Ферма і позначають як F1 і F2. Перетин прямої Ферма (тобто прямої, що з'єднує дві точки Ферма) і прямої Наполеона (тобто прямої, що з'єднує дві точки Наполеона) є симедіаною трикутника (точка X6 в енциклопедії центрів).

Властивості

Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їх вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямі перетнуться в одній точці, що лежать на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників).

Узагальнення Результат про існування точок Наполеона можна узагальнювати різним чином. Для визначення точок Наполеона ми використовували рівносторонні трикутники, побудовані на сторонах трикутника ABC, а потім вибирали центри X, Y і Z цих трикутників. Ці центри можна розглядати як вершини рівнобедрених трикутників, побудованих на сторонах трикутника ABC з кутом при основі π/6 (30°). Узагальнення розглядають інші трикутники, які будуються на сторонах трикутника ABC і мають аналогічні властивості, тобто прямі, що з'єднують вершини побудованих трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, перетинаються в одній точці.

Рівнобедрені трикутники

Це узагальнення стверджує:

Якщо три трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі побудовані з зовнішнього боку, або всі побудовані з внутрішнього боку), то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці N.

Якщо спільний кут при основі дорівнює , то вершини трьох трикутників мають такі трилінійні координати.

Трилінійні координати точки N

Кілька окремих випадків. Значення Точка 0G, центроїд трикутника ABC (X2)π/2 (або, —π/2)O, ортоцентр трикутника ABC (X4)Центр Шпікера (X10)π/4Зовнішня точка Вектена (X485)—π/4Внутрішня точка Вектена (X486)π/6N1, перша точка Наполеона (X17)—π/6N2, друга точка Наполеона (X18)π/3F1, перша точка Ферма (X13)—π/3F2, друга точка Ферма (X14)—A (якщо A < π/2)π—A (якщо A > π/2)Вершина A—B (якщо B < π/2)π—B (якщо B > π/2)Вершина B—C (якщо C < π/2) π—C (якщо C > π/2)Вершина C Більше того, геометричне місце точок N при зміні кута при основі трикутників між —π/2 і π/2 є гіперболою

де  — трилінійні координати точки N в трикутнику.

Історія Цю гіперболу називають гіперболою Кіперта (на честь німецького математика , який відкрив її). Ця гіпербола — єдиний конічний перетин, що проходить через точки A, B, C, G і O.

Зауваження Дуже схожу властивість має центр Шпікера. Центр Шпікера S є точкою перетинів прямих AX, BY і CZ, де трикутники XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, що мають один і той самий кут біля основи .

Подібні трикутники

Щоб три прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці, трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, не обов'язково мають бути рівнобедреними.

Якщо подібні трикутники XBC, AYC і ABZ побудовано з зовнішніх боків на сторонах довільного трикутника ABC, то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Довільні трикутники Прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці навіть за слабших умов. Так умова є однією з найзагальніших умов, щоб прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці:

Якщо трикутники XBC, YCA і ZAB побудовано з зовнішнього боку на сторонах трикутника ABC так, що

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Про відкриття точок Наполеона Коксетер і Грейтцер формулюють теорему Наполеона так: якщо рівносторонні трикутники побудовано з зовнішнього боку на сторонах будь-якого трикутника, то їхні центри утворюють рівносторонній трикутник. Вони зазначають, що Наполеон Бонапарт був трохи математиком і мав великий інтерес до геометрії, однак вони сумніваються, що він був достатньо геометрично освіченим, щоб відкрити теорему, приписувану йому.

Найраніша збережена публікація з точками — стаття в щорічному журналі «The Ladies' Diary» (Жіночий щоденник, 1704—1841) у номері за 1825 рік. Теорема входила у відповідь на питання, надіслане У. Резенфордом, проте в цій публікації про Наполеона не згадано.

1981 року німецький історик математики опублікував у журналі Historia Mathematica результати дослідження питання приписування точок Наполеону .

Див. також Теорема ван Обеля Точка Ферма Точки Вектена — пара центрів трикутника, побудованих аналогічно точкам Наполеона з використанням квадратів замість рівносторонніх трикутників.

Примітки

Література

Перевод: