У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція () — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.
Автоковаріація стохастичних процесів
Визначення
За звичайного позначення для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес має функцію середнього значення , то автоковаріацію визначають як
де та — два моменти часу.
Визначення для слабко стаціонарного процесу
Якщо — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:
для всіх
і
для всіх
і
де — запізнювання в часі (), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.
Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як
що рівнозначне
.
Унормовування
Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.
Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:
.
Якщо функція однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні , причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.
Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:
.
де
.
Властивості
Властивість симетрії
Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
відповідно, для слабко стаціонарного процесу:
Лінійні фільтри
Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром
є
Обчислення турбулентної дифузійності
Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення турбулентної дифузійності. Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій.
Для визначання флуктуацій швидкості використовують (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й — швидкість уздовж напрямку ):
де — істинна швидкість, а — . Якщо ми оберемо правильне , то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до . Щоби визначити , необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.
Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік (, а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:
Автоковаріація швидкості визначається як
або
де — часове, а — просторове відставання.
Турбулентну дифузійність можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:
Автоковаріація випадкових векторів
Див. також Авторегресійний процес Кореляція Взаємна коваріація Взаємна кореляція Оцінювання коваріацій шумів (як приклад застосування)
Примітки
Література
Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ