Радикал Брінга чи ультрарадикал від дійсного числа це єдиний дійсний корінь многочлена
Позначається Для дійсного аргумента, це спадна необмежена непарна функція, з асимптотою для великих значень .
Джордж Жерард показав, що рівняння п'ятого степеня можуть бути розв'язані у закритій формі використовуючи радикали та Брінгові радикали, які були введені Ерландом Брінгом.
Нормальні форми рівняння п'ятого степеня Загальна форма рівняння п'ятого степеня:
Існують різні методи спрощення, що використовують перетворення Чірнхауса скорочення ненульових коефіцієнтів:
Первинна форма
Форма без 4-го степеня та куба:
називається первинною і може бути отримана квадратичним перетворенням Чірнхауса, що пов'язує корені загальної і первинної форм
коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.
Форма Брінга—Жерарда Можливо також занулити коефіцієнт при квадраті, це форма Брінга—Жерарда:
Кубічне перетворення Чірнхауса не допомагає, бо приводить до рівняння 6-го степеня.
Але в 1786 році Брінг знайшов перетворення Чірнхауса 4-го степеня:
що приводить до системи 5 рівнянь з 6 невідомими, де потрібно розв'язувати кубічні і квадратні рівняння. Цей метод також був відкритий Джорджем Жерардом в 1832.
Таку систему краще розв'язувати в одній із систем комп'ютерної алгебри, оскільки запис розв'язку є незрівнянно довшим за розв'язок рівняння четвертого степеня.
Далі лінійною заміною змінної можна звести до форми від одного коефіцієнта:
яка використовується в методах розв'язку Ерміта—Кронекера—Брілші, Глассера, Коклі—Харлі з різними резольвентами.
Загальний розв'язок рівняння 5-го степеня Корені многочлена
можна отримати, використовуючи радикал Брінга:
Джерела