Теоре́ма Ферма́ про багатоку́тні чи́сла стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати як суму не більше ніж -кутних чисел.
Приклади Приклади розбиття натуральних чисел від 1 до 30 відповідно до теореми Ферма: ЧислоСума не більше трьохтрикутних чиселСума не більше чотирьохквадратних чиселСума не більше п'ятип'ятикутних чисел11121 + 11 + 11 + 1331 + 1 + 11 + 1 + 143 + 11 + 1 + 1 + 153 + 1 + 15665 + 176 + 15 + 1 + 186 + 1 + 15 + 1 + 1 + 196 + 35 + 1 + 1 + 1 + 110105 + 51110 + 15 + 5 + 1126 + 6121310 + 312 + 11410 + 3 + 112 + 1 + 115155 + 5 + 51615 + 15 + 5 + 5 + 11710 + 6 + 112 + 51815 + 312 + 5 + 11910 + 6 + 312 + 5 + 1 + 12010 + 105 + 5 + 5 + 521215 + 5 + 5 + 5 + 12221 + 1222310 + 10 + 322 + 12421 + 312 + 122515 + 1012 + 12 + 12615 + 10 + 112 + 12 + 1 + 12721 + 622 + 5282822 + 5 + 12928 + 112 + 12 + 53015 + 1512 + 12 + 5 + 1
Історія Теорему названо ім'ям П'єра Ферма, який висунув це твердження 1638 році без доведення, але обіцяв надати його в окремій статті, яка так ніколи й не з'явилася.. 1770 року Лагранж довів цю теорему для квадратних чисел. Гаусс довів теорему для трикутних чисел 1796 року. Він доповнив свою знахідку записом у щоденнику: «Еврика!». Dover reprint, 2000, . і опублікував доведення в книзі «Арифметичні дослідження». Цей результат Гауса відомий як «теорема еврика».. Повністю теорему довів Коші 1813 року. Подальші доведення засновані на доведених Коші лемах.
Окремі випадки Найцікавіші квадратний і трикутний випадки. Теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів разом із теоремою Лежандра про три квадрати вирішують проблему Воринга для . А в разі трикутних чисел заміна квадрата квадратним многочленом дозволяє зменшити необхідне число доданків.
Примітки
Посилання
— містить доведення теореми Лагранжа і теореми про багатокутні числа.